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Existence d une fonction

Posté par
Nico86 18-12-05 à 22:09

Bonjour,

J'ai une nouvelle question : il faut que je montre l'existence pour x>0 de la fonction I_n(x) = intégrale de 0 à l'infini de f_n(t) dt où :
f_n(t) = t^(x-1) * (1-t/n)^n si 0<t<=n
            0 si n<t.
Quelqu'un aurait-il une piste ?
Je vous remercie d'avance.

Nico

Posté par
kaiser Moderateurre : Existence d une fonction 18-12-05 à 22:18

Bonsoir Nico86

On voit clairement que l'intégrale qui va de 0 à l'infini peut se limiter à l'intégrale entre 0 et n. Ainsi, le seul problème d'intégrabilité qui peut se poser est en 0. Or en 0, fn(t)~tx-1. or tt est intégrable en 0 si et seulement si est strictement supérieur à -1. Or x>0, donc x-1>-1. Donc la fonction en question existe bien.

Kaiser

Posté par
Nico86re : Existence d une fonction 18-12-05 à 22:23

OK, je te remercie bien. En fait, montrer l'existence d'une intégrale, c'est montrer qu'elle est convergente, c'est bien ça ? J'ai vu cette leçon il y a un petit moment et j'en ai oublié des choses aussi simples que ça..

Merci pour ton aide.

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Existence d une fonction 18-12-05 à 22:29

Je t'en prie !

Et oui, c'est bien ça. Montrer l'existence d'une integrale revient bien à montrer sa convergence.

Kaiser

Posté par
Nico86re : Existence d une fonction 18-12-05 à 22:42

OK, je te remercie pour tout.
Je me permet de poser une deuxième question :
je doit prouver que la limite quand n tend vers + l'infini de :
[intégrale de 0 à l'infini de (t^(x-1) * exp(-t) dt] - I_n(x) := J_n(x)
est égale à 0.

J'avais déjà démontré auparavant que 0<= exp(-t) - (1-t/n)^n <= 1/(n * exp(1)).

Ainsi j'obtient que :
lim (J_n(x)) <= lim [int de 0 à n de (t^(x-1) * 1/(ne) dt) + int de n à l'infini de (t^(x-1) * exp(-t) dt)].

Le problème, c'est que cette première intégrale n'a pas l'air de tendre vers 0.
Autre question : est ce que la limite quand n tend vers l'infini de l'intrégrale de n à l'infini d'une fonction vaut toujours 0 ?

Désolé pour l'écriture un peu lourde mais je ne maîtrise pas le LaTeX

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Existence d une fonction 18-12-05 à 22:48

Je vois que tu es en sup et je suis étonné quon donne ce genre d'exo à des sup mais à tout hasard, connaitrais-tu le théorème de convergence dominée ?

kaiser

Posté par
Nico86re : Existence d une fonction 18-12-05 à 23:00

En fait, je prépare le CAPES de maths. J'ai mis SUP car c'est ce qui me correspondait le mieux dans le choix proposé. Toutes les questions que je pose font partie d'un capes blanc que j'ai raté et que j'essaye de corriger. Malheureusement, je ne connais pas le théorème de la convergence dominée.

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Existence d une fonction 18-12-05 à 23:14

Ah ça, c'est embêtant parce que je ne vois que ça pour démontrer le résultat voulu.
je vais quand même t'énoncer ce théorème :

On considère (fn) une suite de fonctions définies sur un intervalle I de . On suppose que les fn sont integrables sur I et que cette suite converge simplement vers une fonction f.
On suppose également qu'il exiset une fonction g intégrable sur I telle que pour tout n, |fn|g.
Alors f est integrable et \int_{I}f_{n} tend vers \int_{I}f

Kaiser

Posté par
Nico86re : Existence d une fonction 18-12-05 à 23:25

Bon, je regarderais demain si ce théorème est au programme du CAPES car il ne me semble pas l'avoir vu.
En tous cas, je te remercie beaucoup pour ton aide.

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Existence d une fonction 18-12-05 à 23:29

Mais je t'en prie !

Posté par
stokastikre : Existence d une fonction 18-12-05 à 23:46

Autre question : est ce que la limite quand n tend vers l'infini de l'intrégrale de n à l'infini d'une fonction vaut toujours 0 ?

Si f est intégrable sur [a,+\infty[ alors pour n>a, on a  
\int_n^{+\infty}f=\int_a^{+\infty}f - \int_a^{n}f \quad \textrm{ donc }\lim_{n\to +\infty}\int_n^{+\infty}f=\int_a^{+\infty}f -\int_a^{+\infty}f=0

Posté par
stokastikre : Existence d une fonction 18-12-05 à 23:49


Pour montrer que la première intégrale tend vers 0 au niveau capes, je pense qu'il faut utiliser un résultat du genre : Soit (f_n) une suite de fonctions intégrables sur [a,+\infty[. Si f_n converge uniformémement vers 0 alors \int_a^{+\infty}f_n \to 0

Posté par
kaiser Moderateurre : Existence d une fonction 19-12-05 à 09:24

Bonjour stokastik

Es-tu sûr de ce résultat ? Je pense que ceci n'est valable que si l'on se trouve sur un segment (ou plus généralement sur un compact). Lorsque l'on est sur un intervalle non borné, il faut une hypothèse de domination. Dans le cas contraire, on ne peut pas conclure.

Kaiser

Posté par
stokastikre : Existence d une fonction 19-12-05 à 09:34


Salut kaiser,

Non je ne suis pas sûr de ce résultat. Et en effet il me semble faux.  

Posté par
stokastikre : Existence d une fonction 19-12-05 à 09:43


Ceci dit il me semble que

\frac{1}{ne}\int_0^n t^{x-1}dt ne tend pas vers pour tout x>0 (on calcule facilement une primitive)

Posté par
stokastikre : Existence d une fonction 19-12-05 à 09:44

...ne tend pas vers 0

Posté par
Nico86re : Existence d une fonction 19-12-05 à 11:37

Et oui, c'est bien ça mon problème. D'après la question, il faudrait que toute la limite (cf le message de 22h42) tende vers 0. Or, comme tu le dis, ça n'a pas l'air d'être le cas. Et je ne vois pas du tout comment m'en sortir.

Nicolas

Posté par
stokastikre : Existence d une fonction 19-12-05 à 13:27


C'est ta majoration qui ne permet pas d'y arriver.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Existence d une fonction 19-12-05 à 23:50

Bonsoir;
Je crois qu'il est possible de montrer d'une manière assez élémentaire que \fbox{(\forall x>0)\\\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}(e^{-t}-f_n(t))dt=0} sans avoir recours au théorème de convergence dominée.
Pour cela commençons par remarquer que la fonction \fbox{\Gamma{:}x\to\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt} est bien définie pour tout \fbox{x>0} et que par conséquent \fbox{\lim_{n\to+\infty}\int_{n}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt=0}.
Quelques résultats utiles pour la suite:
(*)\fbox{\forall(u\ge0)\hspace{5}0\le e^{-u}-(1-u)\le\frac{u^2}{2}}
(*)\fbox{\forall(0\le a\le b)(\forall n)\hspace{5}b^n-a^n\le n(b-a)b^{n-1}}
Démonstration:
Pour \fbox{u=\frac{t}{n}\\b=e^{-u}\\a=1-u} on voit que 3$\fbox{0\le e^{-t}- (1-\frac{t}{n})^n\le n\frac{t^2}{2n^2}e^{-\frac{n-1}{n}t}\le\frac{e t^2}{2n}e^{-t}} et donc que:
4$\fbox{(\forall x>0)\\0\le\int_{0}^{n}t^{x-1}(e^{-t}-(1-\frac{t}{n})^n)dt\le\frac{e\Gamma(x+2)}{2n}} Conclure.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Existence d une fonction 20-12-05 à 14:03

Remarque:
On peut aussi remarquer que pour tout x>0:
\fbox{\forall(0<A<B)\\\int_{A}^{B}\underb{t^{x-1}}_{\alpha'(t)}\underb{e^{-t}}_{\beta(t)}dt=[\frac{t^x}{x}e^{-t}]_{A}^{B}+\frac{1}{x}\int_{A}^{B}t^x e^{-t}dt} et en faisant \fbox{A\to0\\B\to+\infty} on a que 3$\fbox{\forall x>0\\\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)} et on vérifie aisément que 3$\fbox{\forall n\in{\mathbb{N}}^*\\\Gamma(n)=(n-1)!}
Sauf erreurs...

Posté par
Nico86re : Existence d une fonction 20-12-05 à 15:00

Merci pour tout elhor_abdelali, il fallait y penser !!!
Je pense que je n'ai pas encore assez de recul pour réussir ce genre d'exercice.

Encore merci

Nico


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