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Existence d une limite

Posté par Sangoku (invité) 15-10-05 à 13:06

Bonjour à tous, voila j'ai un exercice à faire et je voudrais vous montrer mon raisonnement pour savoir si je pars sur une bonne base.
L'exercice est de trouver pour quelle(s) valeur(s) du nombre réel a la fonction définie par
f(x)=\frac{(1+x)e^{-x}-cos(ax)}{x^3}
a-t-elle une limite finie quand x tend vers 0, et je dois préciser cette limite.

Donc en premier lieu j'ai pensé utiliser les developpements limités pour trouver la réponse.
J'ai donc :
e-x=1-x+\frac{x^2}{2}+o(x²)
cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x²)
cos(ax)=1-\frac{a^2x^2}{2}+o(a²x²)
Ensuite je compte remplacer tout ca dans ma fonction pour voir ce que ca donne mais le problème est que je ne sais pas trop à quel ordre je dois m'arrêter pour les DL et si le DL de cos(ax) est juste.

Merci à tous pour votre aide et bon Week end

Posté par
Roulianere : Existence d une limite 15-10-05 à 13:51

Bonjour,

le DL de cos en 0 est correct, par contre, étant donné que y'a du x^3 au dénominateur, il faut que le DL de ton numérateur s'arrete au moins au degré 3

Posté par Sangoku (invité)re : Existence d une limite 15-10-05 à 14:10

d'accord j'ai compris, donc j'ai :
e-x=1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+o(x3)
cos(ax)=1-\frac{a^2x^2}{2}+o(x3)
Donc je remplace maintenant dans ma fonction.
On a donc :

f(x)=\frac{(1+x)\times(1-x+x^2/2-x^3/3+o(x^3)-(1-a^2x^2/2+o(x^3))}{x^3}

après je développe tout ca.
On a donc :

f(x)=\frac{(-3x^2+a^2x^2)/2+o(x^3)}{x^3}

f(x)=\frac{(-3+a^2)/2+o(x^3)}{x}

f(x)=\frac{-3+a^2+o(x^3)}{x}

C'est la bonne méthode pour le moment?
merci beaucoup

Posté par
Roulianere : Existence d une limite 15-10-05 à 14:19

Oui, pour le moment, ça me semble une bonne méthide, tout du moins j'aurais fait pareil !
( Attention, dans la dernière expression te f(x) il te manque le /2 )

Posté par
Roulianere : Existence d une limite 15-10-05 à 14:21

Heu par contre, j'ai l'impression que ton développement n'est pas juste
tu devrais avoir du x^3/6 au numérateur

Posté par Sangoku (invité)re : Existence d une limite 15-10-05 à 14:37

oui c'est exact j'ai oublié le factoriel 3, donc en fait ca donne

f(x)=\frac{x^2/2-x^2-x^3/6+x^3/2+a^2x^2/2+o(x^3)}{x^3}

f(x)=\frac{-x^2/2+x^3/3+a^2x^2/2+o(x^3)}{x^3}

f(x)=\frac{-1}{2x}+\frac{1}{3}+\frac{a^2}{2x}+o(x)

Voila je pense que ca doit etre ca, j'avais pas vu certain termes en recopiant avec le latex désolé

Posté par Sangoku (invité)re : Existence d une limite 15-10-05 à 14:42

Donc en fait, si je me reporte à la question de départ, si a=1 ou a=-1, on les termes en x qui s'annulent, donc que pour ces 2 valeurs de a, la limte de f en 0 est finie, et elle vaut 1/3.
Est-ce-juste cette fois?
merci

Posté par
Roulianere : Existence d une limite 15-10-05 à 14:50

Oui, je pense que c'est juste

C'est quand même sympa les DL's

Posté par Sangoku (invité)re : Existence d une limite 15-10-05 à 15:52

ok merci beaucoup


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