salut

peut-être utiliser que est symétrique donc diagonalisable et qu'il existe une matrice orthogonale P et diagonale D telles que et pareil pour B

Merci pour ta réponse.

J'y ai pensé mais je trouve que et pareil pour B. Donc en posant   on  a .
De là j'en conclus que les colonnes de M forment une famille orthogonale mais je suis bloqué après.

Bonsoir,
Tu peux utiliser la décomposition polaire. La partie symétrique positive de cette décomposition sera la même pour et , même si elles ne sont pas inversibles.

Je n'ai pas encore vu la décomposition polaire. Mais après avoir fait quelques recherches,  c'est en effet très pratique !

Cependant je ne comprends pas pourquoi la partie symétrique positive resterait la même pour A et B si elles ne sont pas inversible.

En faisant mes recherches, la démonstration que j'ai lue reposait sur un argument de densité. Mais si (An) (resp. (Bn))  est une suite de matrices inversibles convergente de limite A (resp. B) , alors rien ne dit qu'on a une relation entre (An) et (Bn).


Est ce que tu pourrais m'expliquer s'il te plaît ?

Ètant donné une matrice symétrique positive , il existe une unique matrice symétrique positive $R$ telle que $S=R^2$.
Si $S=AA^{\mathsf T}$, alors $R$ est la partie symétrique positive de la décomposition polaire de $A$. Quand $A$ n'est pas inversible, on se sert d'un argument de densité  et du fait que le groupe orthogonal est compact pour montrer qu'il existe une matrice orthogonale telle que . Je te laisse conclure.

Ok ! J'ai réussi à finir la preuve. Merci beaucoup pour ton aide.

Avec plaisir.