Je réecris la suite pour ne pas se tromper dans les parenthèses! x_n+1=(x_n + (1/x_n))/2

bonsoir

tu plaisantes ?

il y a un ceratin Nel59 qui a ouvert un topic la dessus récemment =====> Suite récurrente et nombre complexe

NON du tout je n'ai tjrs pas eu de réponses!!

Je suis embêtée je coince vraiment

tu rigoles !

je t'avais donné la réponse et la méthode !

Là je n'écris pas toutes les questions car de toute facon on ne m'as donner de coup de pouce pour les autres questions...

Pour l'existence montrer par rec que xn<>0 et xn non imaginaire pur si xo non imaginaire pur.

La convergence parait un peu plus complexe. J'arrive apres un peu de calcul chiant (comme tout les calculs en complexe) que :
module de x n+1 est inferieur a module de xn /2.
Ce qui conclut que xn tends vers 0 assez rapidement.

Ruddy t'avais même fait la récurrence complète avec mon indice !

Excusez-moi MatheuxMatou mais vous m'avez seulemtn dit de le faire par récurrence,  ce n'est pas pour ca que j'y suis arrivé

NOn c'est faux il y a une erreur dans ce qu'il as dit!! ce n'est pas du tout la m^mee suite que moi regardez!
Il a raisonné avec une autre suite, c'est pour ca que je l'ai réécris avec des parentheses...

Sa récurrence est vraie pour la question 1.

Si je pose x_n= a+ib , j'obtiens

x_n+1 = 1/2 [ (a³+2ab-b²a+a)/(a²+b²)+i(a²b+b³-b)/(a²+b²)]    

J'insiste mais rudy a écris que x_n+1= ((x_n+1)/x_n)*1/2) ce qui n'est pas la même chose que moi!

Et bien quand certains se compliquent la vie, ils le font avec brio .

Pourquoi mettre au meme dénominateur. Ne perds jamais de vue ce qu'il faut démontrer.

Si tu montres que Re(xn+1) <> 0 c'est FINI.

D'ailleurs ton expression est fausse.

Pourquoi elle est fausse ?
Si x_n= a+ib, x_n+1 n'est pas égale à 1/2 ( ((a+ib)²+1)/(a+ib)) ??

Et bien si c'est bien le cas, mais je t'ai deja dit qu'il ne faut pas mettre au meme denominateur.
Tu multiplies par quantité conjuguée pour le 1/xn puis tu regroupe partie reelle et imaginaire SANS METTRE AU MEME DENOMINATEUR. Et tu fais ton raisonnement et c'est fini.

Ok je vais essayé! merci

Je trouve que x_n+1=1/2 (a²+b² + (a-ib)/a²+b[sup]2[/sup)

pardon je réécris x_n+1= 1/2 (a²+b²+(a-ib)/(a²+b²) c'est ca ?

Ensuite il faut dire que Re(x_n+1) = 1/2(a²+b²+a/(a²+b²)) est différent de zéro c'est tout?

Bon je te donne le vrai resultat :
Re(xn+1) = a + a /(a^2+b^2) donc Re(xn+1) <> 0 c'est fini.

Bon maintenant pour montrer module de xn+1 inferieur a module de xn/2 essaye d'y aller doucement en faisant attention et tout (on n'introduit pas de partie reelle / im ici).

Alors là je ne comprends pas! vous n'avez pas de coefficient 1/2! et dans le premier terme de la parenthèse x_n*(le conjugué de x_n=(a+ib)(a-ib) vous donne a!??!!

Pardon je reprends!

Ah en effet, javais oublié le 1/2. Bon comme le but cest de montrer que cest different de 0, ca change pas grand chose . Allez bonne nuit.

x_n+1=(1/2)*(x_n+(1/x_n)) = (1/2)*((a+ib)(a-ib)/(a-ib) + (a-ib)/(a²+b²)) oui?

Si c'est bon ce que je viens d'écrire je ne toruve pas la même chose que vous! je ne comprends vraiment rien!

Allons y avec la méthode je mets au meme denominateur :


xn+1 = 1/2 * ( a^3 + ab^2 + a + i * ( b^3+ba^2-b))/(a^2+b^2).

Il faudrait s'entrainer a faire du calcul rapidement !!!

Oui la je suis d'accord!!
Et du coup, on dit juste que comme a<>0 alors x_n+1 existe c'est tout?

Mais pour la convergence ?!

Pour la convergence, en fait cest plus compliqué que je le pensais
On a facilement module de xn -> 1 mais la suite...
Je verrais ca demain.

Ok merci beaucoup, je reviendrai bonne nuit!! et encore merci de prendre de votre temps!!

Bon ! on va remettre un peu d'ordre dans tout cela...

déjà il est bon de savoir que si z est un complexe non nul,

Re(1/z) = Re(z)/|z|²

Bien

soit la suite définie par récurrence par :

Re(x(0))0
x(n+1)=(x(n) + 1/x(n))/2

Montrons par récurrence que x(n) existe et Re(x(n))0

>> pour n=0 c'est évident puisque c'est dans les hypothèses

>> si c'est vrai au rang n, alors :
d'une part x(n)0 donc x(n+1) est défini
d'autre part, Re(x(n+1)) = (Re(x(n)) + Re(x(n))/|x(n)|²)/2 = Re(x(n)) * (1+1/|x(n)|²)/2
ce qui n'est pas nul puisque c'est le produit d'un nombre non nul (hypothèse de récurrence) et d'un réel supérieur à 1/2
donc l'hérédité est établie

on a donc (entre autres) montré que la suite x est bien définie.

voilà pour la première partie de la question

Passons à la convergence... qui me paraît moins simple que cela en a l'air.

Une première remarque est que si cette suite converge vers L, alors L=(L + 1/L)/2 conduit à L=1 ou -1.

Remarquons aussi que si x(o)=-1, alors la suite est constante égale à -1

Si x(0) -1,  on commence par montrer par récurrence que pour tout n on a x(n) -1

Si je pose y(n)= (x(n) - 1)/(x(n) + 1)
Il me semble qu'on établit que y(n+1) = [y(n)]²

Ce qui conduit à y(n)=y(0)^(2ⁿ)

avec y(0) = (x(0)-1)/(x(0)+1)

si x(0) a une partie réelle > 0, alors son point représentatif est dans le demi plan des abscisses positives et |x(0)-1|<|x(0)+1| (en effet, x(0) est plus près du point d'affixe 1 que du point d'affixe -1)

donc |y(0)|<1 et donc y(n)0 quand n

et comme on a x(n) = (1+y(n))/(1-y(n)), cela prouve que x(n) tend vers 1

si Re(x(0))<0, on considère la suite (-x(n)) ... elle vérifie la même relation de récurrence que x(n) et elle tombe dans le cas qui vient d'être traité... donc elle tend vers 1
et donc dans ce cas x(n) converge vers -1

voilà, je crois que le problème est résolu (il reste quelques calculs à vérifier bien sûr, mais avec ce que j'ai écrit, tu as tous les éléments pour y arriver)

MM

Ok je vais essayer de faire ca demain, merci beaucoup!!

pas de quoi...

à refaire avec papier crayon et concentration...