Bonjour,
pour la 1),
ceci pour tout x non nul. donc la limite cherchée est bien 1.
Même genre pour la question 2.
Pour la 3, si cette limite existait, elle serait égale à la 1) et à la 2) .... Il n'y a donc pas de limite en (0,0)

super merci.
donc si la limite 1) et la limite 2) sont égales, alors la limite 3) existent et est égale à 1) et 2), c'est ça.

encore une petite question sur les fonctions partielles et leur continuité.

f : R^2 -> R
  (x,y) -> (x^2 + y^2) sin ( 1/ sqrt( x^2 + y^2)) si (x,y) différent de (0,0)
sinon f(0,0) = 0

Montrer que f est continue.

J'ai une théorème dans mon cours qui dit que si f est p-linéaire et bornée, alors elle est continue. Mais dans mon cas, je ne crois pas que f soit linéaire.

Comment dois-je m'y prendre ? Dois-je calculer les limites en (O+,0+), puis (0+,0-) puis (0-,0+) puis (0-,0-) et si elles sont toutes égales à 0 alors, ma fonction est continue en 0 ?

Attention,

donc la limite est nulle.

Ce que je ne comprends pas, c'est que pour une fonction du type
f : (x,y) -> xy / (x^2 + y^2)
Si on cherche la limite en (0,0), on obtient une forme indéterminée.
Alors comment doit-on faire dans des cas comme ça ?

Merci Lafol

Si on commence par fixer y non nul, et qu'on fait tendre x vers 0, on trouve 0 comme limite (indépendante de y) : s'il y a une limite, ce sera 0.
Pais si on se rapproche de l'origine en restant sur la droite (y=x), on a x^2/(2x^2) = 1/2 différent de 0, donc pas de limite quand (x,y) tend vers (0,0).