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existence de suites

Posté par
Tiantio 12-03-23 à 08:30

Bonjour à tous
Exo : Soient K et F deux sous-ensembles non vides de \mathbb{R}, avec K compact et F fermé dans l'espace métrique (\mathbb{R}, |.|). On pose
d(K,F)=inf (|x-y|; x\in K  y \in F) .
Sur \\mathbb{R}^{2} on définit une norme par ||(x,y)|| =max(|x|,|y|)
1. Justifier l'existence d'une suite (x_n,y_n) \in K \times F vérifiant d(K,F)\leq|x_n-y_n|\leq d(K,F)+\frac{1}{n}
2. Démontrer que : K compact de  (\mathbb{R}, |.|) est borné dans  (\mathbb{R}, |.|) ie qu'il existe M_k>0 tel  que |x|\leq M_k pour tout x \in K
3. Déterminer M>0 tel que ||(x_n,y_n)||\leq M pour tout n \geq 1 (on exprimera M en fonction de M_k et d(K,F).
4.Justifier l'existence d'une suite extraite (x_{n_k},y_{n_k})  convergente dans \mathbb{R}^{2}. On note (a,b) \in \mathbb{R}^{2} sa limite.

5. Calculer |a-b| et conclure l'existence d'un (a,b) \in K \times F tels que d(K,F)=|a-b|

Mes réponses :
1. Par déf. de la borne inf, il existe (x_n,,y_n)  \in K \times F | ||x_n-y_n|| \rightarrow d(K,F)
2. vu en cours .
3. j'ai pas trop compris
4. Comme (x_n)_n \in K compact, par déf. il existe une suite extraite x_{n_k}convergente dans K avec a sa limite. Comme F est un fermé de \mathbb{R} donc F est borné et par conséquent F compact. (y_{n_k}) est une suite extraite convergente de F avec b sa limite.
5. d'après 1. on a : d(K,F)\leq|x_{n_k}-y_{n_k}|\leq d(K,F)+\frac{1}{n} en passant à la limite |a-b|= d(K,F)

Je voudrais savoir si mon raisonnement est bon pour les questions que j'aie répondues et que vous donniez des indications pour la question 3

Merci pour vos réponses

Posté par
carpediemre : existence de suites 12-03-23 à 09:51

salut

Tiantio @ 12-03-2023 à 08:30

Comme F est un fermé de \mathbb{R} donc F est borné et par conséquent F compact.
est faux !!

si F était compact tout serait fini donc l'idée est de passer du fermé F à une partie fermée bornée de F donc compacte.

K est compacte donc la composante x_n est bornée par une constante M_k d'après 2/

de plus d'après 1/ et l'inégalité triangulaire tu en déduis que la composante y_n peut-être bornée par une constante qu'on peut écrire plus ou moins ainsi : M = M_k + d(K, F) + c où c est une constante réelle.

Posté par
Tiantiore : existence de suites 12-03-23 à 10:57

Soient (y_n) une suite de F convergente dans \mathbb{R} et b sa limite. Comme F est fermé, on a b \in F
par ailleurs (y_n) est bornée sur F' \subset \overline{F'} \subset F (car convergente) donc d'après B.W on peut extraire sous-suite convergente (y_{n_k}) dont sa limite est b \in F'
donc F' compact

Posté par
carpediemre : existence de suites 12-03-23 à 11:09

non ça ne va pas !!

tu ne sais pas que la suite (y_n) converge : c'est ce que tu veux prouver

la définition de la borne inf donne 1/
la compacité de K donne 2/

à partir de là il faut maintenant prouver que la suite (y_n) est bornée pour conclure que la suite (x_n, y_n) est bornée dans R^2

et donc qu'on travaille dans un compact de R^2

4/ et 5/ s'en déduisent alors ...

Posté par
Tiantiore : existence de suites 12-03-23 à 11:40

||y_n||=||y_n-x_n+x_n||\leq ||y_n-x_n||+M_k\leq d(K,F)+M_k+c avec c>0

donc (y_n) est  bornée

Posté par
Tiantiore : existence de suites 12-03-23 à 11:42

ce sont des valeurs absolues

Posté par
carpediemre : existence de suites 12-03-23 à 13:09

voila qui est beaucoup mieux !!

Posté par
Tiantiore : existence de suites 12-03-23 à 18:18

merci pour votre réponse

Posté par
carpediemre : existence de suites 12-03-23 à 19:02

de rien


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