Soient


et .

Il s'agit de montrer que f est un endomorphisme et que f est bijectif.
Tu peux soit exprimer la matrice de f dans une base de ton choix et regarder son déterminant.
Soit, puisqu'on est en dimension finie, te contenter de vérifier que f est injectif : Si , et , a-t-on ?

D'accord merci, alors pour prouver que f est injective soit , on note , on le remplace dans notre expression ,
Et on se retrouve avec cette expression ce qui équivaut à et ensuite par unicité de l'écriture algébrique on obtient pour tout k dans [[0,n]] les sont nuls, alors A est le polynôme nul ce qui permet de conclure pour f injective, donc f bijective, alors il existe bien un unique P tel que f(P)=… et on note .
Est-ce que mon raisonnement est bon ?

Non malheureusement, tu ne peux pas conclure directement quand tu as une somme double, il faut d'abord regrouper les termes en fonction de la puissance

Calcule plutôt en fonction de et de

Autre piste, tu peux aussi constater que si est non nul de degré , le seul terme devant dans se trouve en , et c'est . Donc est non nul et est injective.

Ah d'accord, en effet cela me semblait un peu étrange de conclure directement avec les doubles sommes.
Je pars donc avec la deuxième méthode, on a toujours l'hypothèse vu de . Et si j'ai bien compris il s'agit un peu d'un raisonnement par l'absurde ? On suppose A non nul donc alors le coefficient du terme dominant est non nul ce qui implique que et ça contredit l'hypothèse.

C'est la même chose logiquement qu'une contraposition.
Au lieu de montrer , on montre .

Ce que je propose, c'est d'écrire , avec non nul et R de degré strictement inférieur à .

Donc dans l'ordre:
1) on trouve dom(Q) et deg(Q) en fonction de dom(P) et deg(P)
2) on constate qu'ils sont non nuls, donc que Q est non nul

Cette méthode est rapide, mais si tu as du mal à voir, la première que je t'ai proposée est également très bien. Il suffit juste de dériver f(P) et de faire un changement de variable

Alors cela donne vu P≠0 donc dom(P)≠0
Et avec alors si je ne me trompe pas.

Oui, chaque est de degré N-k, si , donc le terme correspondant à k dans la somme qui définit , est de degré .

Le dont je parlais plus haut n'est autre que le coefficient du premier terme, correspondant à k = 0.
Comme le premier terme est ,on aura parce que , et donc non nul.

Essaie de faire l'autre calcul maintenant, tu vas voir c'est rigolo

Pour le deuxième calcul en dérivant par rapport à P j'obtiens et ça n'aboutit pas vraiment, de même en dérivant par rapport à X, j'obtiens mais je ne vois pas vraiment à quoi je dois aboutir.

Je ne sais pas d'où tu sors ces mais tu n'y es pas du tout.

Si alors le polynôme dérivé de est
Maintenant, si , ça veut dire que

Les sont en fait les dont il était question plus haut petite faute de frappe.
On a alors:
donc

Ce qui s'écrit plus simplement .

Avec ça tu peux finir le calcul de

Alors :
si je ne me trompe pas ?

La somme est sur k, petite faute de frappe.

C'est un bon début, mais il faut continuer le calcul

On obtient finalement , or donc f est strictement monotone ce qui permet de montrer que f est bijective non ?

Non, tu mélanges tout, c'est ce que je craignais. C'est à cause de ta notation f' qui n'a aucun sens.

n'est pas la dérivée au sens usuel des fonctions, mais l'endomorphisme qui à un polynôme associe son polynôme dérivé. Dériver l'endomorphisme f ça n'a pas de sens en général _{^{(et au risque de t'embrouiller encore plus : ça ne sert à rien puisqu'il est égal à sa propre diffférentielle)}} ! Ce n'est pas pour rien que j'utilise la notation \Delta_1 et pas un prime

est l'endomorphisme qui à un polynôme P associe \Delta_1(f(P)), la dérivée polynomiale du polynôme .

Ce qu'on a vu pour l'instant, c'est que , ce qui est une manière de dire que pour tout polynôme P, la dérivée (polynomiale) de est .


Tu as compris qu'il fallait faire un changement de variable, et l'expression correcte pour ton calcul est

. Le gros du travail est fait, mais y'a pas de f', qui ne veut rien dire et encore moins de monotonie


Pour conclure, il ne te reste plus qu'à évaluer l'encadré ci-dessus en un pour voir ton résultat apparaître sous tes yeux ébahis

Ah très bien, en effet je pensais que était la dérivée au sens conventionnel ce qui m'a induis en erreur un peu tout du long.
En évaluant en P dans le Ker(f) on trouve bien que P est nul en une infinité de X ce qui permet de conclure.
En tout cas merci pour ces deux raisonnements et je te souhaite une bonne soirée !

Bonne soirée, et bientôt bonne rentrée

salut

il me semble qu'on peut faire cela sans autant de formalisme qu'introduit Ulmiere.

pour tout polynome P de degré n ; alors :

a/ la famille est une base
b/ la famille est une base
c/ la famille est une base

ce qui assure l'existence d'un polynome P permettant de décomposer Q

pour l'unicité il suffit de raisonner classiquement en supposant qu'on en a deux ... et qu'il sont égaux ...

ce me semble-t-il ...

peut-être plutôt : pour tout polynome dont tous les coefficients ne sont pas nuls ...

Le but est justement de trouver un P tel que dans la base associée à P, les coordonnées des Q soient les 1/3^k.

Seulement,
1) rien ne dit que le P qu'on cherche soit de degré n. En fait il doit être de degré deg(Q)

2) dans R^3, le vecteur e2 a pour coordonnées (0,1,0) dans la base canonique comme dans la base (e3,e2,e1) et pourtant ce sont deux bases différentes

Ca ne me semble pas trivial de montrer qu'il n'existe qu'une seule base de la forme (P^(k)) telle que Q(pi^5X) ait les 1/3^k pour coordonnées

merci Ulmiere de ton retour

c'etait une proposition sans être certain de sa véracité ... mais :

1/ les points a/, b/ et c/ sont-ils exacts ?

2/ ok pour le degré d'un P convenable ... mais dans ces bases (sous réserve du point 1/) on peut bien considérer qu'au delà du degré de Q les coefficients soient nuls ?

1) Oui. Si sont n polynômes tous non nuls de degré différent, alors ils sont linéairement indépendants.
Si de plus, alors ils forment une famille génératrice, et donc une base, de

2) En fait, si tu utilises des bases qui dépendent de Q, tu déplaces la question vers un autre espace vectoriel. Pour répondre à la question de l'énoncé, tu poses N = deg(Q) et tu cherches P de degré N tel que soit dans , qui est bien une base de d'après le point 1). Le but est donc d'inverser ma bijection f et de donner explicitement un candidat P en fonction de Q, puis de montrer que ce candidat est unique. Le problème, c'est que je ne trouve pas de procédé pour identifier Q qui n'implique pas de dériver Q pour se servir à un moment du fait que le k-ième coefficient de Q (dans la base canonique) est

Des coquilles partout voilà ce qu'il en coûte de mal se relire

Dans le 1)
- de degrés tous différents. C'est-à-dire, si l'ensemble des degrés est de cardinal n+1
-

Dans le 2)
- je ne trouve pas de procédé pour identifier P