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Niveau Maths sup
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Existence et unicité

Posté par
FPasContinue
21-08-22 à 10:49

Bonjour à tous,
Soit n\in\mathbb{N}^* et E le R-ev \mathbb{R}_n[X] démontrer que pour tout Q\in E il existe un unique polynôme P\in E tel que Q=\sum_{k=0}^{n} \frac {1}{3^k}P^{(k)}(\frac{X}{\pi^5})
J'ai essayé d'utiliser la définition des coordonnées d'un vecteur dans une base mais cela prouve l'existence des scalaires et pas de P, de même en utilisant la formule de Taylor j'ai des renseignements sur les scalaires mais pas P.
Voilà, si quelqu'un a des pistes j'accepte volontiers.
Merci de m'avoir lu et bonne journée !

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité 21-08-22 à 11:49

Soient
\Delta_k : P \longmapsto P^{(k)} \in \mathcal{L}(E), k\in\N
r : P \longmapsto P(X/\pi^5) \in \mathcal{L}(E)
et f = \sum_ {k=0}^n 3^{-k}(r\circ \Delta_k).

Il s'agit de montrer que f est un endomorphisme et que f est bijectif.
Tu peux soit exprimer la matrice de f dans une base de ton choix et regarder son déterminant.
Soit, puisqu'on est en dimension finie, te contenter de vérifier que f est injectif : Si P\in E, et f(P) = 0, a-t-on P = 0 ?

Posté par
FPasContinue
re : Existence et unicité 21-08-22 à 12:59

D'accord merci, alors pour prouver que f est injective soit A\in Ker(f), on note A(X)=\sum_{i=0}^n a_iX^i, on le remplace dans notre expression f(A)=0,
Et on se retrouve avec cette expression \sum_{k=0}^n\sum_{i=k+1}^n \frac{a_{i}i!} {3^{k}\pi^{5i}(i-k)!}X^{i-k}=0 ce qui équivaut à \sum_{k=0}^n\sum_{i=k+1}^n \frac{a_{i}i!} {3^{k}\pi^{5i}(i-k)!}X^{i-k}=\sum_{k=0}^n 0*X^i et ensuite par unicité de l'écriture algébrique on obtient pour tout k dans [[0,n]] les a_i sont nuls, alors A est le polynôme nul ce qui permet de conclure pour f injective, donc f bijective, alors il existe bien un unique P tel que f(P)=… et on note f(P)=Q\in E.
Est-ce que mon raisonnement est bon ?

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité 21-08-22 à 14:21

Non malheureusement, tu ne peux pas conclure directement quand tu as une somme double, il faut d'abord regrouper les termes en fonction de la puissance

Calcule plutôt \Delta_1 \circ f en fonction de f et de r

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité 21-08-22 à 14:37

Autre piste, tu peux aussi constater que si P est non nul de degré n, le seul terme devant X^n dans Q se trouve en k = 0, et c'est dom(P)/\pi^{5n} \neq 0. Donc Q est non nul et f est injective.

Posté par
FPasContinue
re : Existence et unicité 21-08-22 à 15:39

Ah d'accord, en effet cela me semblait un peu étrange de conclure directement avec les doubles sommes.
Je pars donc avec la deuxième méthode, on a toujours l'hypothèse vu A\in Ker(f) de f(A)=0. Et si j'ai bien compris il s'agit un peu d'un raisonnement par l'absurde ? On suppose A non nul donc deg(A)\geq 0 alors le coefficient du terme dominant est non nul ce qui implique que f(A)\neq 0 et ça contredit l'hypothèse.

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité 21-08-22 à 16:09

C'est la même chose logiquement qu'une contraposition.
Au lieu de montrer f(P) = 0 \implies P = 0, on montre P\neq 0\implies f(P) \neq 0.

Ce que je propose, c'est d'écrire Q = \alpha X^{deg(Q)} + R, avec \alpha non nul et R de degré strictement inférieur à deg(Q).

Donc dans l'ordre:
1) on trouve dom(Q) et deg(Q) en fonction de dom(P) et deg(P)
2) on constate qu'ils sont non nuls, donc que Q est non nul

Cette méthode est rapide, mais si tu as du mal à voir, la première que je t'ai proposée est également très bien. Il suffit juste de dériver f(P) et de faire un changement de variable

Posté par
FPasContinue
re : Existence et unicité 21-08-22 à 16:58

Alors cela donne \alpha= \frac {dom(P)}{\pi^{5deg(P)}}\neq 0 vu P≠0 donc dom(P)≠0
Et deg(Q)=deg(P) avec deg(P)\geq 0 alors Q\neq 0 si je ne me trompe pas.

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité 21-08-22 à 17:05

Oui, chaque P^{(k)} est de degré N-k, si N = deg(P), donc le terme correspondant à k dans la somme qui définit Q = f(P), est de degré N-k.

Le \alpha dont je parlais plus haut n'est autre que le coefficient du premier terme, correspondant à k = 0.
Comme le premier terme est P(X/\pi^5),on aura \alpha = \dfrac{dom(P)}{\pi^{5n}}\neq 0 parce que dom(P)\neq 0, et donc Q = \alpha X^N + R non nul.

Essaie de faire l'autre calcul maintenant, tu vas voir c'est rigolo

Posté par
FPasContinue
re : Existence et unicité 21-08-22 à 18:52

Pour le deuxième calcul en dérivant par rapport à P j'obtiens f'(P)=\sum_i 3^{-k} r'(\delta_k(P))\delta_{k+1} et ça n'aboutit pas vraiment, de même en dérivant par rapport à X, j'obtiens f'(P(X))P'(X)=\sum_i 3^{-k}\pi^{-5}P^{(k+1)}(\frac{X}{\pi^5}) mais je ne vois pas vraiment à quoi je dois aboutir.

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité 21-08-22 à 19:00

Je ne sais pas d'où tu sors ces \delta_k mais tu n'y es pas du tout.

Si A(X) = P(uX) alors le polynôme dérivé de A(X) est A'(X) = ?
Maintenant, si u = \pi^{-5}, ça veut dire que \Delta_1\circ r = ?

Posté par
FPasContinue
re : Existence et unicité 21-08-22 à 19:17

Les \delta_k sont en fait les \Delta_k dont il était question plus haut petite faute de frappe.
On a alors:
A'(X)=P'(uX)u donc \Delta_1\circ r=r'=P'(\pi^{-5}X)\pi^{-5}

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité 21-08-22 à 19:21

Ce qui s'écrit plus simplement \Delta_1\circ r = \pi^{-5}(r\circ\Delta_1).

Avec ça tu peux finir le calcul de \Delta_1\circ f

Posté par
FPasContinue
re : Existence et unicité 21-08-22 à 19:39

Alors :
\Delta_1\circ f = \pi^{-5}\sum_i 3^{-k}r\circ\Delta_{k+1} si je ne me trompe pas ?

Posté par
FPasContinue
re : Existence et unicité 21-08-22 à 19:41

La somme est sur k, petite faute de frappe.

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité 21-08-22 à 19:42

C'est un bon début, mais il faut continuer le calcul

Posté par
FPasContinue
re : Existence et unicité 21-08-22 à 19:58

On obtient finalement f'=\frac{3}{\pi^5}*(f-P(\pi^{-5}X)), or f> P donc f est strictement monotone ce qui permet de montrer que f est bijective non ?

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité 21-08-22 à 20:15

Non, tu mélanges tout, c'est ce que je craignais. C'est à cause de ta notation f' qui n'a aucun sens.

\Delta_1 n'est pas la dérivée au sens usuel des fonctions, mais l'endomorphisme qui à un polynôme associe son polynôme dérivé. Dériver l'endomorphisme f ça n'a pas de sens en général (et au risque de t'embrouiller encore plus : ça ne sert à rien puisqu'il est égal à sa propre diffférentielle) ! Ce n'est pas pour rien que j'utilise la notation \Delta_1 et pas un prime

\Delta_1 \circ f est l'endomorphisme qui à un polynôme P associe \Delta_1(f(P)), la dérivée polynomiale du polynôme f(P).

Ce qu'on a vu pour l'instant, c'est que \Delta_1 \circ r = \pi^{-5} r\circ \Delta_1, ce qui est une manière de dire que pour tout polynôme P, la dérivée (polynomiale) de P(X/\pi^5) est \pi^{-5}P'(X/\pi^5).


Tu as compris qu'il fallait faire un changement de variable, et l'expression correcte pour ton calcul est

\boxed{\Delta_1 \circ f = \dfrac{3}{\pi^5}(f - r)}. Le gros du travail est fait, mais y'a pas de f', qui ne veut rien dire et encore moins de monotonie


Pour conclure, il ne te reste plus qu'à évaluer l'encadré ci-dessus en un P\in\ker f pour voir ton résultat apparaître sous tes yeux ébahis

Posté par
FPasContinue
re : Existence et unicité 21-08-22 à 20:36

Ah très bien, en effet je pensais que \Delta_k était la dérivée au sens conventionnel ce qui m'a induis en erreur un peu tout du long.
En évaluant en P dans le Ker(f) on trouve bien que P est nul en une infinité de X ce qui permet de conclure.
En tout cas merci pour ces deux raisonnements et je te souhaite une bonne soirée !

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité 21-08-22 à 20:40

Bonne soirée, et bientôt bonne rentrée

Posté par
carpediem
re : Existence et unicité 23-08-22 à 10:02

salut

il me semble qu'on peut faire cela sans autant de formalisme qu'introduit Ulmiere.

pour tout polynome P de degré n ; alors :

a/ la famille (P^{(k)})_{0 \le k \le n} est une base
b/ la famille \left(P^{(k)}\left( \dfrac x {\pi^5} \right) \right)_{0 \le k \le n} est une base
c/ la famille \left( \dfrac 1 {3^k}P^{(k)}\left( \dfrac x {\pi^5} \right) \right)_{0 \le k \le n} est une base

ce qui assure l'existence d'un polynome P permettant de décomposer Q

pour l'unicité il suffit de raisonner classiquement en supposant qu'on en a deux ... et qu'il sont égaux ...

ce me semble-t-il ...

Posté par
carpediem
re : Existence et unicité 23-08-22 à 13:16

peut-être plutôt : pour tout polynome dont tous les coefficients ne sont pas nuls ...

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité 23-08-22 à 13:35

Le but est justement de trouver un P tel que dans la base associée à P, les coordonnées des Q soient les 1/3^k.

Seulement,
1) rien ne dit que le P qu'on cherche soit de degré n. En fait il doit être de degré deg(Q)

2) dans R^3, le vecteur e2 a pour coordonnées (0,1,0) dans la base canonique comme dans la base (e3,e2,e1) et pourtant ce sont deux bases différentes

Ca ne me semble pas trivial de montrer qu'il n'existe qu'une seule base de la forme (P^(k)) telle que Q(pi^5X) ait les 1/3^k pour coordonnées

Posté par
carpediem
re : Existence et unicité 23-08-22 à 15:25

merci Ulmiere de ton retour

c'etait une proposition sans être certain de sa véracité ... mais :

1/ les points a/, b/ et c/ sont-ils exacts ?

2/ ok pour le degré d'un P convenable ... mais dans ces bases (sous réserve du point 1/) on peut bien considérer qu'au delà du degré de Q les coefficients soient nuls ?

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité 23-08-22 à 17:58

1) Oui. Si (P_i, 0\leqslant i\leqslant n) sont n polynômes tous non nuls de degré différent, alors ils sont linéairement indépendants.
Si de plus, \{deg(P_i), 0\leqslant i\leqslant n\} = \{0,n\} alors ils forment une famille génératrice, et donc une base, de \R_n[X]

2) En fait, si tu utilises des bases qui dépendent de Q, tu déplaces la question vers un autre espace vectoriel. Pour répondre à la question de l'énoncé, tu poses N = deg(Q) et tu cherches P de degré N tel que Q soit (1/3^k) dans (P^{(k)}), qui est bien une base de \R_N[X] d'après le point 1). Le but est donc d'inverser ma bijection f et de donner explicitement un candidat P en fonction de Q, puis de montrer que ce candidat est unique. Le problème, c'est que je ne trouve pas de procédé pour identifier Q qui n'implique pas de dériver Q pour se servir à un moment du fait que le k-ième coefficient de Q (dans la base canonique) est Q^{(k)}(0)/k!

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité 23-08-22 à 18:01

Des coquilles partout voilà ce qu'il en coûte de mal se relire

Dans le 1)
- de degrés tous différents. C'est-à-dire, si l'ensemble des degrés est de cardinal n+1
- \{deg(P_i), 0\leqslant i\leqslant n\} = \{0,\cdots,n\}

Dans le 2)
- je ne trouve pas de procédé pour identifier P



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