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Existence et unicité d'une fonction et expression

Posté par
Crei
02-10-22 à 15:21

Bonjour besoin d'aide.
Montrer que pour toute fonction continue f:[0;1]\rightarrow} il existe une une unique fonction continue g:[0;1]\rightarrow} et un unique tels que \int_{0}^{1}g\left(x) \rightdx=0 et f\left(x \right)=g\left(x \right)+\alpha

Voici ce que j'ai fait
Suppons qu'une tel fonction existe, on a
f\left(x \right)=g\left(x \right)+\alpha\Leftrightarrowg\left(x \right)=f\left( x\right)-\alpha
\int_{0}^{1}g\left(x \right)dx=0\Leftrightarrow \int_{0}^{1}f\left( \left(x \right)-\alpha\right)dx=0
\int_{0}^{1}f\left(x \right)dx=\alpha\Leftrightarrow F\left(1 \right)-F\left(0 \right)=\alpha
f continue\Rightarrow F(1)-F(0)=cte\Leftrightarrow \alpha =cte donc unique
la proposition est donc vraie

Est ce correct? S'il y'a d'autre methode merci de me montrer

Posté par
GBZM
re : Existence et unicité d'une fonction et expression 02-10-22 à 16:00

Bonjour,
J'(ai arrêté à ta première ligne, ça ne va pas du tout : \alpha est une constante, pourquoi écris-tu \alpha(x) ? Et surtout quel sens donner à g(x)+\alapha(x)=f(x)-\alpha ??  Peux-tu reprendre avec plus d'attention ?

Posté par
GBZM
re : Existence et unicité d'une fonction et expression 02-10-22 à 16:01

GBZM @ 02-10-2022 à 16:00

Et surtout quel sens donner à g(x)+\alpha(x)=f(x)-\alpha ??  

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité d'une fonction et expression 02-10-22 à 16:02

C'est très mal rédigé, mais si tu réordonnes ton raisonnement pour que ce soit clair, oui, ça marche.

Tu peux aussi ne pas partager ton brouillon avec le correcteur et simplement vérifier en deux étapes que

1) \alpha = \int_0^1 f(x)dx et g = f - \alpha répondent au problème

2) Si h et \beta forment une autre solution alors [à compléter] et donc (h,\beta) = (g,\alpha)

Posté par
Crei
re : Existence et unicité d'une fonction et expression 02-10-22 à 22:58

GBZM @ 02-10-2022 à 16:00

Bonjour,
J'(ai arrêté à ta première ligne, ça ne va pas du tout : \alpha est une constante, pourquoi écris-tu \alpha(x) ? Et surtout quel sens donner à g(x)+\alapha(x)=f(x)-\alpha ??  Peux-tu reprendre avec plus d'attention ?

Veuiller vraiment m'excuser

Posté par
Crei
re : Existence et unicité d'une fonction et expression 02-10-22 à 23:00

Crei @ 02-10-2022 à 15:21

Bonjour besoin d'aide.
Montrer que pour toute fonction continue f:[0;1]\rightarrow} il existe une une unique fonction continue g:[0;1]\rightarrow} et un unique tels que \int_{0}^{1}g\left(x) \rightdx=0 et f\left(x \right)=g\left(x \right)+\alpha

Voici ce que j'ai fait
Suppons qu'une tel fonction existe, on a
f\left(x \right)=g\left(x \right)+\alpha\Leftrightarrow g\left(x \right)=f\left( x\right)-\alpha
\int_{0}^{1}g\left(x \right)dx=0\Leftrightarrow \int_{0}^{1}f\left( \left(x \right)-\alpha\right)dx=0
\int_{0}^{1}f\left(x \right)dx=\alpha\Leftrightarrow F\left(1 \right)-F\left(0 \right)=\alpha
f continue\Rightarrow F(1)-F(0)=cte\Leftrightarrow \alpha =cte donc unique
la proposition est donc vraie

Est ce correct? S'il y'a d'autre methode merci de me montrer

Posté par
Crei
re : Existence et unicité d'une fonction et expression 02-10-22 à 23:05

Ulmiere @ 02-10-2022 à 16:02

C'est très mal rédigé, mais si tu réordonnes ton raisonnement pour que ce soit clair, oui, ça marche.

Tu peux aussi ne pas partager ton brouillon avec le correcteur et simplement vérifier en deux étapes que

1) \alpha = \int_0^1 f(x)dx et g = f - \alpha répondent au problème

2) Si h et \beta forment une autre solution alors [à compléter] et donc (h,\beta) = (g,\alpha)


D'accord merci



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