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Niveau école ingénieur
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Existence et unicité pour un problem de minimisation

Posté par
VVictor33
25-01-23 à 14:57

Bonjour,

J'ai le problème suivant :
I(u) = \frac{1}{2} \int_\Omega \left \| u \right \|^2 dx
Avec \Omega un domaine carré avec la condition de bord (g_1,0) sur le bord gauche et (g2,0) sur le bord droit et (0,0) en haut et en bas.
Et je cherche \min_V(I(u)). Il s'agit donc d'un problème de minimisation ou l'on va chercher u qui minimise I. Avec V = \left \{ u \in H^1(\Omega), \nabla u = 0, u|_{\partial \Omega} = g\right \}.
J'ai cru entendre que ce problème est proche des équations de Darcy si cela peut vous aider.

J'ai donc repris et adapté une démonstration de mon cours pour arriver au problème à résoudre :
u \in V, soit \epsilon \in R. On souhaite qu'une perturbation de u,  \tilde{u} soit tel que : u + \epsilon\tilde{u} \in V
Donc \nabla (u + \epsilon \tilde{u}) = 0 et donc \nabla \tilde{u} = 0 et u + \epsilon \tilde{u}|_{\partial \Omega} = g d'ou  \tilde{u}|_{\partial \Omega} = 0.

Soit W = \left \{ u \in H^1_0(\Omega), \nabla u = 0\right \}. Donc  \tilde{u} \in W.
On fait ensuite la différence : \Delta =I(u +\epsilon \tilde{u}) - I(u).

\Delta = \frac{1}{2} \int_{Omega} (u+\epsilon \tilde{u}):(u+\epsilon \tilde{u})dx - \frac{1}{2} \int_{Omega} u:u dx
\Delta = \epsilon \int_{Omega} u:\tilde{u} + \frac{1}{2} \epsilon^2 \tilde{u}:\tilde{u} dx
\Delta = \epsilon \int_{Omega} u:\tilde{u} + \frac{1}{2} \epsilon^2 \left \| \tilde{u} \right \|^2 dx

D'où : \lim_{\epsilon \to 0} \frac{I(u+\epsilon \tilde{u}) - I(U)}{\epsilon} = \int_{\Omega} u:\tilde{u}dx qui est la dérivée directionnelle de I(u) dans la direction \tilde{u}

On a aussi une autre condition nécessaire sur le min : \nabla \tilde{u} \in W.
Soit \lambda : \begin{cases}
 \\ \Omega \rightarrow R  \\ 
 \\  x \mapsto \lambda(x)  
 \\ \end{cases} assez régulière.
\int_{\Omega} (\lambda \nabla \tilde{u}) = 0 \Leftrightarrow 0 - \int \nabla \lambda \tilde{u}  = 0

et \int u .\tilde{u}  = 0 et \int \nabla \lambda \tilde{u}  = 0 quelque soit \tilde{u} dans W.
Donc le min doit répondre à ces conditions : u = \nabla \lambda,       \nabla u = 0,     u|_{\partial \Omega} = g

J'ai ensuite effectué une résolution du problème avec des méthodes numériques. Je dois cependant démontrer l'existence et l'unicité de ma solution et je ne sais pas par ou commencer.
J'ai peut être une idée en utilisant la formule variationnelle  du problème puis en appliquant le théorème de Lax-Milgram. Est ce que cela peut fonctionner ? En sachant que je n'utilise pas du tout d'éléments finis par la suite. Avez vous des idée pour démontrer l'existence et l'unicité ?

Posté par
Ulmiere
re : Existence et unicité pour un problem de minimisation 25-01-23 à 18:29

Lax-Milgram et méthode de Galerkin sont deux choses différentes
En tout cas, si la forme elliptique du théorème de Lax-Milgram est symétrique elle est l'unique solution d'un problème de minimisation qui a une forme sous laquelle le tien peut s'écrire.

J'aimerais plus de précisions sur

1) si la norme sous l'intégrale dans la définition de I est la norme L^2 ou la norme H^1, ou autre chose ? Et qu'est-ce que c'est que cette condition au bord sous forme de couple de fonctions ?

2) ce que tu essaies de faire exactement avec ta perturbation linéaire à part te ramener à une trace nulle sur le bord ? C'est quoi u, déjà ? Un argmin, ou juste un élément de V ?

3) rapport entre W et V ? D'où sort ce lamba et le fait qu'il soit orthogonal à W ?


Pour t'aider, il nous faudrait un énoncé clair du problème

Posté par
VVictor33
re : Existence et unicité pour un problem de minimisation 26-01-23 à 09:18

Bonjour Ulmiere,

Pour la norme, il s'agit de la norme L^2
En fait u est un vecteur 2D composé de (v,w) d'ou les conditions de bord du problème. D'un point de vue plus physique, u = (v,w) représente la vitesse et \lambda la pression.

On utilise la perturbation pour calculer le taux d'accroissement. En passant à la limite on trouve la dérivée directionnelle de I(u) ce qui permet de minimiser le problème si on parvient à l'annuler.

On utilise ensuite \lambda pour exploiter la condition \nabla u = 0

Enfin, on essaie de se ramener à un problème de la forme \begin{pmatrix}
 \\ A & -B^T\\ 
 \\ B & 0
 \\ \end{pmatrix} .\begin{pmatrix}
 \\ U\\ 
 \\ \lambda
 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
 \\ 0\\ 
 \\ C
 \\ \end{pmatrix}
Pour notre problème A = I_d, B=\nabla. Cette forme est pratique pour appliquer la méthode du gradient projeté ou de la dualité.

J'espère que le problème est plus clair



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