salut

pas clair du tout ...

mais la définition de la continuité te dit bien que pour parler de la continuité en un point il faut bien considérer des points de plus en plus "voisins" de ce point

maintenant tout dépend de l'espace de départ, ce qui ne devrait pas poser de pb pour un espace vectoriel normé (sur un corps)

et si tu nous donnais l'énoncé ...

Soit , où dont les coefficients sont strictement positifs.
Je dois montrer (et j'ai du mal) que f est supérieurement continue. Pour la cela j'aimerais utiliser la caractérisation séquentielle de la semi continuité supérieure. Je dois donc prendre un point quelconque que de X et considérer une suite qui converge vers ce point. Je me demande si dans ces conditions une telle suite existe ?

Une suite qui converge vers un point, ça existe toujours, il suffit de prendre une suite constante.
Dans un EVN, tu peux même prendre , où y est n'importe quel élément de même sev auquel appartient x et tu auras par définition .

En revanche, je ne suis pas sûr que tu aies bien compris ce que signifie semi-continuité supérieure. Ce n'est pas la même chose que continuité à droite attention
Il y a plein de caractérisations, mais celles qui concernent les suites mettent en général en jeu des limsup et liminf, et pas forcément des vraies limites

D'accord pour la suite.
La caractérisation que je veux utiliser dit que f est semi-continue supérieurement au voisinage de si et on a mais je ferai peut être mieux d'utiliser la limite sup ...

Ben c'est ça la limsup
Ton truc dit que la plus grosse limite des suites convergentes de la forme , est majorée par f(x).
C'est pareil que de dire

Ah ok, tu répètes le fait que la limite sup d'une suite est sa plus grande valeur d'adhérence? C'était pas du tout clair pour moi que mon "truc" et ce que tu dis sont équivalent... je vais y réfléchir.
Merci.

Pour un espace métrique gentil comme R oui la limsup n'est que le sup de l'ensemble des valeurs d'adhérence