Bonsoir ,

Une idée :

Soit (e(i)) une base de E et x un vecteur de coordonnées x(i) dans cette base

Tu exprimes u(x) en fonction des x(i) et u(e(i))

Puis tu tiens compte du fait que dim(Im(u)) = 1

bonsoir gianpf!

merci pour ton aide

mais je ne sais pas comment exprimer u(x) en fonction des x(i)et u(e(i))
tu pourrais m'expliquer stp?

x = x1*e1 + ... + xn*en

u(x) = x1*u(e1) + ... xn*u(en)

Or dim(Im(u)) = 1

Soit a un élément non nul de Im(u).
(a) est donc une base de Im(u)

u(e1) , ... , u(en) sont éléments de Im(u)
donc il existe un réel a1 tel que u(e1) = a1*a

de même pour u(e2) , ... , u(en)

donc u(x) = x1*a1*a + ... xn*an*a = (x1*a1 + ... xn*an)*a

Reste à montrer que x1*a1 + ... xn*an est l'image de x par une certaine forme linéaire

On utilise certainement la base duale de la base (ei)

bonjour gianpf!
merci encore pour ton aide!

pour montrer que x1a1+...xnan est l'image de x par une forme linéaire:

soit p: E->K
       x->x1a1+...xnan
x=x1e1+...xnen
p(x)=x1p(e1)+..xnp(en)
on doit avoir p(e1)=a1,...p(en)=an

je ne peux pas poser p(e1)a1... p(en=an, je suppose?

encore une petite question, est ce que l'ordre des "il existe" est important dans une phrase logique?je pense a la dernière question ou il y a 2 il existe à la suite.