Bonjour ,

1) On s'interesse d'abord à l'équation sans second membre :

x*y' - y = 0 qui devient y'/y = 1/x   (pour x non nul)

On intègre cette dernière équation :

y'/y est la dérivée de ln(|y|) et 1/x est la dérivée de ln(|x|)

On montre alors que les solutions de cette équation sont de la forme y = K*x où K est une constante et x non nul

Soit y0 une solution particulière de l'équation sans second membre par exemple y0 = x obtenue pour K = 1

2) On revient à l'équation avec second membre :

x*y' - y = x²/(1 + x²)

On cherche les solutions de la forme y = lambda*y0 où lambda est fonction de x

On a donc y' = lambda'*y0 + lambda*y0' (après dérivation)

On remplace y par y = lambda*y0 et y' par y' = lambda'*y0 + lambda*y0' dans l'équation avec second membre

On aboutit à x*y0*lambda' = x²/(1 + x²)

c'est-à-dire lambda' = 1/(1 + x^2) que l'on sait intégrer

Donc lambda = arctan(x) + C où C est une constante

Les solution générales de l'équation sont en définitive ;

y = lambda*y0

y = x*arctan(x) + C*x   (pour x non nul)

Tout ce que l'on vient de faire s'appelle "méthode de la variation des constantes"

salut gianpf!

merci pour ton aide!
je métais trompé pour la solution particulière, j'avais oublié de simplifier par x à un moment donné.
j'essaie d'étudier la limite de y en + et -infini, mais ca pose une indetermination si lambda=-/2.

t'aurais une idée pour la lever, est-ce que je fais un developpement limité?

merci encore pour ton aide

Salut ,

1) Pour étudier les éventuelles asymptotes obliques en + l'infini , il faut étudier la limite de y/x en + l'infini.

Si cette limite existe et vaut a (où a réel) alors on étudie la limite de y - a*x

Si y - a*x admet une limite réelle b , alors la droite d'équation y = a*x + b est asymptote à la courbe représentative de f

2) Idem en - l'infini

oui mais avan de faire cela il faut verifier que la lmite en +inf (resp -inf) =+ ou- inf,  non?

sinon j'ai fait les autre limites et je trouve comme asymptote oblique y=(lambda+/2)x-1.
est-ce que c'est juste?


j'obtiens comme limite de y lorque lambda=-/2, -1 je dois donc exclure le cas lambda=-/2 dans l'étude des asymptotes obliques?

Si y = f(x) = x*arctan(x) + C*x

En + infini , on trouve bien y = (C + pi/2)*x - 1

En - infini , on trouve bien y = (C - pi/2)*x - 1

Comme ton lambda semble désigner la constante C , ta réponse est correcte en + infini

Pour C = -pi/2 , l'une des  asymptotes est horizontale ce qui est un cas particulier de "oblique" (coeff directeur nul)

Quant à la limite de f(x) en +infini (resp -infini) , je crois qu'il n'est pas nécessaire de la chercher. Après tout , c 'est l'énoncé qui dit qu'il y a
asymptote

ok dac, merci beaucoup gianpf!

un toute petite dernière question: pour la solution paire c'est bien lorsque C=0?

oui