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exo espace vectoriel
alut a tous j'ai quelques exo a faire sur les espace vectoriel mais les reponse me paraissent evidente donc je n'arrive pas a formuler de reponses claires:
soit E un K-espace vectoriel de dimention n appartenant a n*
on se donne A et B deux sous EV de E et on pose le probleme suivant:
a quelle(s) condition(s) existe t il un sous EV C tel que A+B=A++C=B++C (++ pour supplementaire)
1)...
2)
on suppose dimA=dimB et A et B deux hyperplans distincts
a)justifier l'existence de vecteurs u app à A et v app à B tels que u n'app pas à B et v n'app pas à A
b)etablir que w=u+v n'app pas à AUB (A union B)
c) observer que C=vect(w) est solution du probleme posé
3)...
j'ai finalement reussit cette partie 2 mais j'ai encore un probleme:
on supose A n'egale pas B et dans la partie 3 on a demontré que:
-il existe A' tel que (A inter B)++A'=A (++=suplementaire)
" B' " " (A inter B)++B'=B
-A' inter B' = o
-dimA'=dimB'=p
-il existe une base Beta=(e1,...,ep) et Gama=(f1,...,fp) au SEV A' et B'
4)a)
on forme D=(g1,...,gp) en posant gi=ei+fi
-montrer que D est libre
je pense qu'il faut d'abbord montrer que A' et B' sont supplementaire mais je n'y arrive pas
-on pose C=vect(g1,...,gp) determiner dim C
donc si je dit pas de betise dim C=p car D est libre
-montrer que A inter C = o
la aussi je voit pas comment faire
Bonjour paaat
Pour montrer que D est libre, il ne s'agit pas de montrer que A' et B' sont supplémentaires, car ils ne le sont pas... Ceci ne serai-ce qu'en regardant les dimensions de A' et B'.
Ensuite, puisque D est libre, dim C est bien p.
Pour montrer que D est libre, tu peux le faire par l'absurde, et aboutir au fait qu'on a une contraction avec Beta est une base (ou Gama est une base)
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