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exo matrices

Posté par jacko78 (invité) 22-09-05 à 19:38

Bonsoir a tous, j'ai besoin de vos lumieres sur cette question, ce n'est pas existenciel mais j'aurais aimé le faire ca me semble etre un classique du genre...

Soit f endomorphisme de M_n(\mathbb{K}) verifiant f(AB)=f(A)f(B) qqsoit (A,B) \in M_n(\mathbb{K})^2.
Montrer que : f(A)\neq 0 \Longleftrightarrow A \in GL_n(\mathbb{K})

voila voila merci a ceux qui m'aideront

Posté par jacko78 (invité)re : exo matrices 22-09-05 à 21:36

non vraiment personne?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : exo matrices 22-09-05 à 22:54

Bonsoir jacko78;
il me semble qu'il manque une donnée à ton énoncé car l'endomorphisme nul de M_{n}(\mathbb{R}) vérifie bien l'hypothèse citée.
n'as tu pas oublié que f(I)=I par exemple ?
Sauf erreur bien entendu

Posté par jacko78 (invité)re : exo matrices 22-09-05 à 22:58

non elhor desolé je ne te met pas en doute mais je n'ai rien de plus dans l'enoncé

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : exo matrices 23-09-05 à 01:12

Donc on doit supposer que l'endomorphisme f n'est pas nul.
Si on adopte cette hypothése supplémentaire je crois que l'exercice devient faisable:
\fbox{\Longleftarrow}
(*)\fbox{f(I)\neq0}
car sinon on aurait pour tout A\in M_{n}(\mathbb{R}) que f(A)=f(AI)=f(A)f(I)=0
soit alors A\in GL_{n}(\mathbb{R}) on a:
f(A)f(A^{-1})=f(AA^{-1})=f(I)\neq0 donc f(A)\neq0.
je ferais un second post pour la réciproque

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : exo matrices 23-09-05 à 02:43

jacko78,prends pour f l'endomorphisme identique de M_{n}(\mathbb{K})on a bien pour tout (A,B)\in {M_{n}(\mathbb{K})}^2
f(AB)=AB=f(A)f(B) mais crois tu qu'il suffit que A\neq0 pour que A soit inversible ?!!!
la réciproque est fausse.
prière de bien consulter l'énoncé

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : exo matrices 24-09-05 à 12:34

j'attends toujours une réponse jacko78


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