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Niveau Maths sup
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exo niveau maths sup

Posté par baribal (invité) 29-10-04 à 16:30

voila j'ai un petit exo a faire et je bloque :
soit f(x)=Arcsin(2x/(1+x²))+Arccos((1-x²)/(1+x²))

1) ensemble de definition : R
2) lim en + et - inf : Pi
jusque la ca va mais apres ca se complique:
3) exprimer f(x) en fonction de t=Arctan(x) (on distinguera 4 cas)
sur ]-/2;Pi/2[ on a : x=tan(t)
donc f(t)=Arcsin(2tant/(1+tan²t))+Arccos((1-tan²t)/(1+tan²t))
soit sur ]-pi/2;0] on a,
f(t)=Arcsin(sin2t)+Arccos(cos2t)
sur [0;Pi/2[ on a,
f(t)=Arcsin(sint2t)+2t

Apres j'imagine que les 2 autres cas c'est ]-inf;-Pi/2] et [Pi/2;+inf[ mais je vois pas comment les étudier ...

Merci de votre aide

Posté par
franzre : exo niveau maths sup 30-10-04 à 01:02

Bonsoir baribal

Je suis furieux car je t'avais préparé une solution très détaillée et mon PC a planté lors de l'envoi

Je ne vais reprendre que les grandes lignes.

Tout d'abord, fais attention que lorsque tu effectues un changement de variable, la fonction n'est plus la même. On va appeler
   \begin{tabular}{rcl}g(t) & = & \arcsin(\frac{2 \tan t}{1+ \tan^2t})+ \arccos(\frac{1-\tan^2t}{1+\tan^2t})\\& = & \arcsin(\sin(2t)) + \arccos(\cos(2t)) \hspace{10cm}t \in ]-\frac \pi 2 ,\frac \pi 2 [ \end{tabular}

il faut distinguer les 4 cas suivants :

* t \in ]-\frac \pi 2 ,-\frac \pi 4[ (c'est-à-dire 2t \in ]-\pi ,-\frac \pi 2[ )
  \begin{tabular}{rcl}g(t) & = & \arcsin(\sin(2t)) + \arccos(\cos(2t))\\ & = & \arcsin(\sin(-\pi-2t)) + \arccos(\cos(-2t))\\ & = & (-\pi-2t) + (-2t) \hspace{10cm} (car\; -\pi-2t \in [-\frac \pi 2 ,\frac \pi 2]\;\; et\;\; -2t \in [0 ,\pi])\\ & = & -\pi - 4t\end{tabular}

* t \in [-\frac \pi 4, 0[ (c'est-à-dire 2t \in [-\frac \pi 2 ,0[ )
  \begin{tabular}{rcl}g(t) & = & \arcsin(\sin(2t)) + \arccos(\cos(2t))\\ & = & \arcsin(\sin(2t)) + \arccos(\cos(-2t))\\ & = & (2t) + (-2t) \hspace{10cm} (car\; 2t \in [-\frac \pi 2 ,\frac \pi 2]\;\; et\;\; -2t \in [0 ,\pi])\\ & = & 0\end{tabular}

* t \in [0,\frac \pi 4] (c'est-à-dire 2t \in [0,\frac \pi 2] )
  \begin{tabular}{rcl}g(t) & = & \arcsin(\sin(2t)) + \arccos(\cos(2t))\\ & = &  (2t) + (2t) \hspace{10cm} (car\; 2t \in [-\frac \pi 2 ,\frac \pi 2]\;\; et\;\; 2t \in [0 ,\pi])\\ & = & 4t\end{tabular}

* t \in ]\frac \pi 4 ,\frac \pi 2[ (c'est-à-dire 2t \in ]\frac \pi 2,-\pi [ )
  \begin{tabular}{rcl}g(t) & = & \arcsin(\sin(2t)) + \arccos(\cos(2t))\\ & = & \arcsin(\sin(\pi-2t)) + \arccos(\cos(2t))\\ & = & (\pi-2t) + (2t) \hspace{10cm} (car\; \pi-2t \in [-\frac \pi 2 ,\frac \pi 2]\;\; et\;\; 2t \in [0 ,\pi])\\ & = & \pi \end{tabular}


Quand tu repasses à f
\begin{tabular}{rccc}f(x) & = & -\pi - 4 \arctan(x) \hspace{10cm} & sur \;\; & ]-\infty,-1[ \\ & = & 0 & sur & [-1,0[ \\ & = & 4 \arctan(x) & sur & [0,1] \\ & = & \pi & sur & ]1,\infty[\end{tabular}

Bon courage.

Posté par baribal (invité)encore un petit truc 30-10-04 à 11:49

merci bcp franz, j'ai compris de facon plus général le problème ... en fait j'avais les intervalles qu'ils fallaient, mais je m'embrouillais avec les t et les x.
Par contre, dans les 2 premiers cas, je vois pas trop comment tu passes de la 1ere a la 2eme ligne ?? c'est a cause de la périodicité des fonctions sin et cos ?

Posté par
franzre : exo niveau maths sup 30-10-04 à 17:27

Je me sers du fait que
\forall x \in \mathbb{R}, \\\sin(\pi-x) = \sin(x) = \sin((\pi-x)-2\pi)= \sin(-\pi-x) \\ \cos(-x) = \cos(x)

Posté par baribal (invité)a nouveau un pb 01-11-04 à 20:18

voila maintenant il faut que je dérive f(x)=Arcsin(2x/(1+x²))+Arccos((1-x²)/(1+x²))
et je trouve que la dérivée fait 0 ... ???!!!
je fais avec les fonctions composées
f(x)=g(h)+j(k)
d'ou f'(x)=g'(h)*h'+j'(k)*k'
c'est comme cela qu'il faut faire ?

Posté par
franzre : exo niveau maths sup 01-11-04 à 22:09

Attention aux simplifications abusives sous les \sqrt{\hspace{10cm}\vspace{10cm}}

f^'(x)=2\frac{\sqrt{x^2}}x \; \frac 1 {1+x^2} \;\;- \;\;2\frac{\sqrt{(x^2-1)^2}}{x^2-1} \; \frac 1 {1+x^2}

En fonction de la position par rapport =à -1, 1 et 0 on obtient les 4 cas
\begin{tabular}{lccc}x<-1 \hspace{20cm} & f^'(x) & = & -\frac 4 {1+x^2} \\ -1 \le x\lt 0 & f^'(x) & = & 0 \\ 0 \le x\le 1 & f^'(x) & = & \frac 4 {1+x^2} \\ x\gt 1 & f^'(x) & = & 0 \end{tabular}

Posté par baribal (invité)re : exo niveau maths sup 02-11-04 à 09:32

je trouve,
f'(x)=2(1-x²)/(*(1+x²)²)+4x/(*(1+x²)²)

est ce que ca c'est bon déja ?

Posté par baribal (invité)re : exo niveau maths sup 02-11-04 à 10:20

en fait a la fin de mon calcul de dérivée j'arrive à :
f'(x)= -2/(1+x²) + 2/(1+x²)
a mon avis je suis pas loin de ton calcul !

Posté par baribal (invité)mon brouillon 02-11-04 à 10:46

voila mon brouillon au cas ou ...
http://www.baribal.org/exo.jpg

Posté par
franzre : exo niveau maths sup 02-11-04 à 11:11

Je me répète : Attention aux simplifications abusives sous les
J'ai remarqué sur ton brouillon des terme \sqrt{(x-1)^2(x+1)^2} qui devenaient (x-1)(x+1)
Tu n'as le droit de faire ça que quand (x-1)(x+1)>0
Idem pour \sqrt{x^2}

Posté par baribal (invité)re : exo niveau maths sup 02-11-04 à 11:27

deja je vois pas pq toi y'a des racines en haut (* forme conjugée ?)
apres il y a bien eu des simplification puisque sous la racine il ne reste plus que x² (du reste je sais pas d'ou il vient ?!) et (x²-1)²
donc je comprends pas tout !

Posté par
franzre : exo niveau maths sup 02-11-04 à 18:42

Reprends posément ta dérivation. Les racines en haut sont peut être au dénominateur. Elles sont juste là pour dire qu'il y a un problème de signe la fonction \frac{\sqrt {x^2}} x= \rm{signe}(x) .

Posté par baribal (invité)j y arrive pas !! 03-11-04 à 11:31

j'arrive pas a la calculer cette dérivée !! soit tout se simplifie, soit il reste des termes compliqués ...

Posté par
franzre : exo niveau maths sup 04-11-04 à 20:57

Reprenons calmement :

f(x)=Arcsin(2x/(1+x²))+Arccos((1-x²)/(1+x²))

si on pose h1: {\mathbb R} \longrightarrow {\mathbb R} \\ \;\;x \mapsto \frac {2x}{1+x^2},      et      h2: {\mathbb R} \longrightarrow {\mathbb R} \\ \;\;x \mapsto \frac {1-x^2}{1+x^2},

h1^'(x) = \frac{2(1+x^2)-2x.2x}{(1+x^2)^2}=2 \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}

h2^'(x) = \frac{-2x(1+x^2)-2x.(1-x^2)}{(1+x^2)^2}=- \frac{4x}{(1+x^2)^2}

D'où

\begin{tabular}{rcl} f^'(x) & = & 2 \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\;\frac 1 {\sqrt{1-\( \frac {2x} {1+x^2} \)^2}} \;\; + \;\; \frac{-4x}{(1+x^2)^2} \;\frac {-1} {\sqrt{1-\( \frac {1-x^2} {1+x^2} \)^2}} \\ & = & 2 \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} \; \sqrt{\frac {(1+x^2)^2}{(1+x^2)^2-(2x)^2}}\;\; + \;\; \frac{4x}{(1+x^2)^2} \; \sqrt{\frac {(1+x^2)^2}{(1+x^2)^2-(1-x^2)^2}} \\ & & \\ & = & 2 \frac{1-x^2}{1+x^2} \frac 1 {\sqrt{(1-x^2)^2}} \;\; + \;\; \frac{4x}{1+x^2} \; \frac 1 {\sqrt{4x^2}} \\ & = & \frac 2 {1+x^2} \( \frac {1-x^2} {\sqrt{(1-x^2)^2}} \; + \; \frac x {\sqrt{x^2}} \)\end{tabular}


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