Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

exo nombre complexe terminale S

Posté par
Jo94
27-12-12 à 18:13

Bonjour, j'ai un exercice a faire sur les nombres complexes, quelqu'un pourrait-il m'aider svp ?

1) Résoudre dans C l'équation :
(iz + 1 + i3) (z² - 2z + 4) = 0

et donner les solutions sous la forme algébrique.

2) On considère les nombres complexes a = 1 + i3 et b = - 3 +i on appelle A et B les points d'affixes respectives a et b.

a) Déterminer une forme trigonométrique de a et b.
b) Placer les points a et b ( unité : 3 cm)
c) Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle où O est l'origine du repère.
d) K est le milieu du segment AB. Placer K et déterminer son affixe k.

3) On considère le complexe c = ( 1 - 3) + ( 1 + 3) et on appelle C le point du plan d'affixe c.

a) Montrer que K est le milieu du segment OC, puis placer C.
b) Démontrer que le quadrilatère OACB est un carré.

Posté par
Glapion Moderateur
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 18:21

Bonsoir, annule chaque facteur.

Posté par
tranquilo_22
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 18:25

Bonsoir,

un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul.
donc tu as soit: iz + 1 +i\sqrt3 = 0 (pas très difficile à résoudre)
soit z² - 2z + 4=0 (polynôme du second degré en z)

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 18:35

Merci à vous Glapion et tranquilo_22,

Alors comme on sait que un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul, on va résoudre l

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 18:41

z² - 2z + 4 = 0

= b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1² * 4 = 4 - 16 = - 12

L'équation admet 2 solutions dans :

x1 = -b - i- / 2a =  -2 - i12 / 2

x2 = -2 + i 12 / 2

Posté par
Glapion Moderateur
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 18:51

Les parenthèses ça existe.
Bref ça donne 1i3

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 19:00

Je viens de refaire mon calcul mais je trouve 2 i3 mais pas 1 devant c bizarre j'ai peut-être fait une erreur alors

Posté par
Glapion Moderateur
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 19:13

les parenthèses, les parenthèses.

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 19:18

Soit a = 1, b = -2 et c = 4

x1 = - (-2) + i12) / 2 *1 = 2 + i3 * 4 / 2*1 = 2 + i3 *2 / 2 = 2 + i3

Posté par
Glapion Moderateur
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 19:23

Oui c'est ce que je dis, tu ne mets pas bien les parenthèses
(- (-2) + i12) / 2 le premier 2 aussi est divisé par 2

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 19:32

Mais le premier 2 est divisé par le même 2 que l'autre ? ça peut se faire ça ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 19:35

(A+B)/2 = A/2 + B/2 oui

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 19:40

a ok ok merci.  pour la question b) Y a t-il un moyen de la faire sur le forum ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 19:47

Quoi ? Placer les points a et b ? tu plaisantes ? tu les tapes tels quels dans geogebra :
exo nombre complexe terminale S

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 19:49

Mais non, je voulais dire si sur le forum on pouvais tracer un graphique pour faire placer les points lol
mais merci !

Posté par
Glapion Moderateur
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 19:52

Citation :
tracer un graphique pour faire placer les points

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 20:01

Euh rien oubli ce que j'ai dis ^^

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 20:13

Quel est la méthode pour la question c svp ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : exo nombre complexe terminale S 27-12-12 à 22:37

c) Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O

Démontre que OA=OB (donc que |a|=|b|) et que OA est perpendiculaire à OB (donc par exemple que b=ia)

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 28-12-12 à 06:53

OAB est rectangle isocèle en O. Montrons le en considérant
z = zA- zO / zB- zO

Mais le problème c'est que pour faire le calcul je suis embêté parce que je sais que
ZA= 1+i3

ZB= - 3 + i

mais pour ZO on ne s'est pas.

Comme O est l'origine, ses coordonnées sont (0;0), sachant que  z = x+iy alors zO= 0+ i0 c'est égal à i ?????

Posté par
dhalte
re : exo nombre complexe terminale S 28-12-12 à 08:20

zO= 0+ i0 c'est égal à i ?

ben non

z_0 = 0+i*0 = 0+0 = 0
étonnant, non ? l'affixe de l'origine du repère est le réel 0.
A retenir, ça pourra être utile.

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 28-12-12 à 08:23

A ok merci !

Est-ce que le calcul de z comme je l'ai écrit c'est bon ou pas ?

Posté par
dhalte
re : exo nombre complexe terminale S 28-12-12 à 09:01

lequel ? Sois plus précis dans tes questions, merci.

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 28-12-12 à 09:05

Pour la question c pour démontrer que le triangle est rectangle isocèle.

Je souhaite faire le calcul suivant :

z = zA- zO / zB- zO


mais je sais pas s'il est bien écrit oui s'il y a une erreur ?? (entre les zA et tout sont-ils dans le bon ordre ?

Puis je compte chercher le module et trouver un argument pour pouvoir conclure.

Posté par
dhalte
re : exo nombre complexe terminale S 28-12-12 à 09:22

il manque les parenthèses
Lis bien ce qui suit :

sur ton livre, ou ton cahier, tu vois une formule du genre de celle-ci
\frac{a}{b+c}
et tu as envie de l'écrire ainsi sur le forum
a/b+c
c'est une erreur

l'écriture
a/b+c
équivaut à
\frac ab+c
l'écriture correcte est
a/(b+c)

sur ton livre, ou ton cahier, tu vois une formule du genre de celle-ci
\frac{a}{bc}
et tu as envie de l'écrire ainsi sur le forum
a/bc
c'est une erreur

l'écriture
a/bc
équivaut à
\frac abc
l'écriture correcte est
a/(bc)

sur ton livre, ou ton cahier, tu vois une formule du genre de celle-ci
\frac{a+b}{c}
et tu as envie de l'écrire ainsi sur le forum
a+b/c
c'est une erreur

l'écriture
a+b/c
équivaut à
a+\frac bc
l'écriture correcte est
(a+b)/c

sinon, utilise \LaTeX
Tu peux apprendre à écrire des formules mathématiques avec les expressions LaTeX (prononcer latec)

il te faut encadrer tes formules par des balises spéciales.

Pour essayer, saisit cette expression ci-dessous
[tex] \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac }}{ 2a } [/tex]

Clique sur le bouton "Aperçu"

et tu verras apparaître ça :
\Large  \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac}}{ 2a }

Pour apprendre et t'entraîner :
le lien de ce forum, que tu peux aussi consulter par le bouton \Large \sum dans la barre de boutons orange : [lien]

Plus complet mais en anglais :
exo nombre complexe terminale S

Enoncé et résultats précédents :
a=1+i\sqrt3=2e^{i\frac{\pi}3}
b=-\sqrt3+i=2e^{i\frac{5\pi}6}

calcul simplicime :
\frac{b-0}{a-0}=\frac ba = \frac{2e^{i\frac{5\pi}6}}{2e^{i\frac{\pi}3}}
\frac{b-0}{a-0}=e^{i(\frac{5\pi}6-\frac{\pi}3)}}=e^{i\frac{\pi}2}=i

donc comme disait Glapion (salut) : b = i*a
et je rajoute : par conséquent |a|=|b|

interprétation géométrique : b est l'image de a par la rotation de centre O, d'angle \frac{\pi}2 : le triangle OAB est isocèle rectangle direct de sommet O
exo nombre complexe terminale S

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 28-12-12 à 09:54

Merci pour l'histoire des parenthèses !

Mais pour les calculs je ne comprends pas les exponentielle avec puissance parce que je n'ai jamais fais cela en classe.

N'y a-t-il pas un autre moyen ? svp

Posté par
dhalte
re : exo nombre complexe terminale S 28-12-12 à 10:05

si, plus lourd

\frac ba=\frac{-\sqrt3+i}{1+i\sqrt3}
on utilise le nombre conjugué \bar a=1-i\sqrt3 car a\bar a=|a|²=4 (tu vérifieras)
\frac ba=\frac ba.\frac {\bar a}{\bar a}=\frac{b\bar a}{a\bar a}=\frac{(-\sqrt3+i)(1-i\sqrt3)}4
il te reste à développer et simplifier

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 14-01-13 à 16:19

Quelqu'un pourrait m'aider svp concernant la question 2a

Comment faut-il faire pour détermnier une forme trigonométrique de a et b ?

Posté par
tranquilo_22
re : exo nombre complexe terminale S 14-01-13 à 16:59

Bonjour,
a = 1 + i\sqrt{3}= 2(1/2 + i\sqrt{3}/2)
tu cherches un angle donc le cos=1/2 et le sin=\sqrt{3}/2

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 14-01-13 à 17:22

z = r (cos + i sin )

z = r (cos 1/2 + i sin (3/2)
  
  

??

r = module de z = a² + b²

donc
module de ² = (1+i3)² + ( -3+i)²

maisj pouvez me faire le calcul svp ? Je n'y arrive pas.

? Merci.

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 14-01-13 à 17:24

Ah dans le post de 16h59, la forme de a que vous m'avez donner c'est deja la forme trigo non ?

Posté par
dhalte
re : exo nombre complexe terminale S 14-01-13 à 19:49

non

a=1+i\sqrt3
tranquilo te donne une piste

a=2(\frac12+i\frac{\sqrt3}2)

pourquoi cette factorisation ? parce que 2=\sqrt{1²+\sqrt3²}=|a| est le module de a
tu dois résoudre :

\frac12=\cos(\theta)
 \\ \frac{\sqrt3}2=\sin(\theta)

et \theta sera une mesure de l'argument de a

trouve \theta

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 15-01-13 à 15:26

= pi / 3 ?

Posté par
Jo94
re : exo nombre complexe terminale S 15-01-13 à 19:06

personne pour me répondre svp ?



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !