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exo nombres complexes

Posté par
letonio 29-07-05 à 18:26

Rebonjour tout le monde,
Je ne sais pas trop commment traiter cet exo sans rentrer dans des calculs débiles (qui ne m'amèneraient sans doute pas bien loin).
z et z' sont deux nombres complexes tels que zz'-1
|z|=|z'|=1
Démontrer que le nombre (z+z')/(1+zz') est un nombre réel.
Si vous pouviez me donner une piste...

Posté par
cinnamonre : exo nombres complexes 29-07-05 à 18:32

méthode bourrin: tu poses z=a+ib et z'= a'+ib' et tu regardes ce qui se passe...
J'en cherche une autre


Posté par
Thibsre : exo nombres complexes 29-07-05 à 18:38

Z est réel ssi z=\bar{z}

Posté par
letoniore : exo nombres complexes 29-07-05 à 18:47

Hum là c'est plus une piste c'est une autoroute
J'ai besoin de ce qu'il y a avant

Posté par
Thibsre : exo nombres complexes 29-07-05 à 18:48

Fais la différence du complexe \frac{z+z'}{1+zz'} et de son conjugué \bar{\frac{z+z'}{1+zz'}} .
tu auras à un moment: z\bar{z} et n'oublie pas que z\bar{z} =|z|^2 et comme |z|=|z'|=1 tout est réglé.

Posté par
letoniore : exo nombres complexes 29-07-05 à 20:53

Je n'y arrive pas. Je ne trouve pas comment faire le calcul...

Posté par
muriel Correcteurre : exo nombres complexes 29-07-05 à 21:11

bonjour ,
letonio, pour le calcul, Thibs t'a dit:
4$\frac{z\;+\;z'}{1\;+\;zz'}\;-\;\bar{\(\frac{z\;+\;z'}{1\;+\;zz'}\)}\;=\;\frac{z\;+\;z'}{1\;+\;zz'}\;-\;\(\frac{\bar{z}\;+\;\bar{z'}}{1\;+\;\bar{z}\bar{z'}}\)

ensuite, il faut détailler le calcul, parce que la suite devrait te ve,ir tout seul, non?

Posté par
letoniore : exo nombres complexes 29-07-05 à 21:25

Bein ça j'avais compris. C'est pour la suite que je galère. Est ce qu'il faut développer? J'ai essayé de garder les z (sans passer par a+ib) parce que le développemeent me paraissait très long et fastidieux (et qu'en général ça n'est pas bon signe...).

Posté par
cinnamonre : exo nombres complexes 29-07-05 à 21:35

Mets au même dénominateur et tout devrait s'annuler....

Posté par
letoniore : exo nombres complexes 29-07-05 à 21:45

ok merci à vous j'ai compris.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : exo nombres complexes 30-07-05 à 09:27

z = a + ib
z' = c + id

|z|=1 --> a²+b²=1   (1)
|z'|=1 --> c²+d² = 1   (2)

(z+z')/(1+zz') = (a+c+i(b+d))/(1+(a-ib)(c+id))
(z+z')/(1+zz') = (a+c+i(b+d))/(1+ac-bd+i(bc+ad))
(z+z')/(1+zz') = (a+c+i(b+d)).(1+ac-bd-i(bc+ad))/[(1+ac-bd+i(bc+ad)).(1+ac-bd-i(bc+ad))]
(z+z')/(1+zz') = (a+c+i(b+d)).(1+ac-bd-i(bc+ad))/[(1+ac-bd)²+(bc+ad)²]

Soit I la Partie imaginaire de (z+z')/(1+zz')

I = [-(a+c)(bc+ad)+(b+d)(1+ac-bd)]/[(1+ac-bd)²+(bc+ad)²]
I = [-abc-a²d-bc²-acd+b+abc-b²d+d+acd-bd²]/[(1+ac-bd)²+(bc+ad)²]
I = (-a²d-bc²+b-b²d+d-bd²)/[(1+ac-bd)²+(bc+ad)²]
I = (-d(a²+b²)-b(c²+d²)+b+d)/[(1+ac-bd)²+(bc+ad)²]

Avec (1) et (2) -->
I = (-d-b+b+d)/[(1+ac-bd)²+(bc+ad)²]
I = 0

Et donc (z+z')/(1+zz') est un réel.
-----
Sauf distraction.  

Posté par
muriel Correcteurre : exo nombres complexes 30-07-05 à 12:09

bonjour JP
cela, c'est la méthode bourrin
je trouve que celle de Thibs est plus jolie

Posté par
lyonnaisre : exo nombres complexes 30-07-05 à 12:11

salut muriel et J-P :

je confirme, c'est la méthode bourrin : cependant, ça fait plaisir de revoir J-P

++ sur l'

Posté par
Thibsre : exo nombres complexes 30-07-05 à 12:33

Soit Z=\frac{z+z'}{1+zz'}
Soit Z'=\bar{\frac{z+z'}{1+zz'}}

Z-Z'=\frac{z+z'}{1+zz'} - \bar{\frac{z+z'}{1+zz'}}
Z-Z'=\frac{z+z'}{1+zz'}-\frac{\bar{z}+\bar{z'}}{1+\bar{z}\bar{z'}}
Z-Z'=\frac{(1+\bar{z}\bar{z'})(z+z')-(1+zz')(\bar{z}+\bar{z'})}{(1+zz')(1+\bar{z}\bar{z'})
Z-Z'=\frac{(z+z'+z\bar{z}\bar{z'}+z'\bar{z'}\bar{z})-(\bar{z}+\bar{z'}+z\bar{z}z'+z'\bar{z'}z)}{(1+zz')(1+\bar{z}\bar{z'})

Comme |z|=1 donc |z|^2=1
et z\bar{z}=|z|^2
alors z\bar{z}=1 et z'\bar{z'}=1
En remplaçant:
Z-Z'=\frac{(z+z'+\bar{z'}+\bar{z})-(\bar{z}+\bar{z'}+z'+z)}{(1+zz')(1+\bar{z}\bar{z'})
Z-Z'=0
Donc Z est réel.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : exo nombres complexes 30-07-05 à 15:38

Exact, ma réponse est la méthode bourrin.

Mais lorsque la méthode bourrin arrive à la solution attendue aussi vite, sinon plus vite qu'une autre méthode, alors ... n'était-ce pas la meilleure voie à suivre ?




Posté par
muriel Correcteurre : exo nombres complexes 31-07-05 à 12:02

comment définis tu une meilleur voie plutôt qu'une autre?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : exo nombres complexes 31-07-05 à 15:26

Une définition parmi d'autre:

La meilleure voie est celle qui demande le moins de travail et le moins de connaissances pour aboutir à la solution de manière rigoureuse.




Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : exo nombres complexes 26-08-05 à 04:37

On peut remarquer que:
4$\fbox{\bar{z}=\frac{1}{z}\\\bar{z'}=\frac{1}{z'}}
et donc que,
5$\fbox{\bar{(\frac{z+z'}{1+zz'})}=\frac{\bar{z}+\bar{z'}}{1+\bar{z}\bar{z'}}=\frac{\frac{1}{z}+\frac{1}{z'}}{1+\frac{1}{zz'}}=\frac{z+z'}{1+zz'}}

Posté par
muriel Correcteurre : exo nombres complexes 27-08-05 à 12:06

attention, cela n'est valable que pour |z|=|z'|=1, ce qui est le cas ici, mais en général,
4$\bar{z}\no{=}\frac{1}{z}
mais
4$\red\bar{z}=\frac{|z|}{z}

bonne journée


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