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Exo : point fixe d'une fonction décroissante

Posté par Orion_LC (invité) 10-01-07 à 21:25

Soit f une application dérivable de R dans R. On suppose que f' < ou égal à 0. Prouver que f admet un unique point fixe sur R.

-> Donc, pour cela, j'ai considéré g(x) = f(x) - x
d'où g'(x) = f'(x) - 1 < 0
Il est évident que g est alors décroissante. Il me reste donc à démontrer qu'il existe un a tel que sur ]-infini ; a[, g est positive et sur ]a ; +infini[, g est négative mais comment faire ?

Posté par
Nightmarere : Exo : point fixe d'une fonction décroissante 10-01-07 à 21:39

Bonsoir

En utilisant le théorème des accroissements fini ça marche peut être non?

Posté par
kaiser Moderateurre : Exo : point fixe d'une fonction décroissante 10-01-07 à 21:43

Bonsoir à tous

Je pense qu'un bon vieux théorème des valeurs intermédiaires peut marcher.
Nightmare> Je ne sais pas comment tu utilises ce théorème mais je suis curieux de le savoir (ça fera plusieurs méthodes en plus ).

Kaiser

Posté par Orion_LC (invité)re : Exo : point fixe d'une fonction décroissante 10-01-07 à 22:03

Justement, j'y ai pensé au TVI. Mais comment l'utiliser ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Exo : point fixe d'une fonction décroissante 10-01-07 à 22:15

Il suffit de calculer les limites de g en \Large{+\infty} et \Large{-\infty}.
Ensuite conclut en utilisant le fait que ta fonction est strictement décroissante (et pas seulement décroissante tout court).

Kaiser

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Exo : point fixe d'une fonction décroissante. 10-01-07 à 22:57

Bonsoir ;
Je suppose seulement f{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R} continue décroissante ( pas nécessairement dérivable) alors f admet un point fixe unique .
En effet la fonction g{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R}\hspace{5}x\to f(x)-x s'annule car sinon étant continue elle garderait un signe constant sur tout \mathbb{R} or :
g\ge0\Longrightarrow(\forall x)\hspace{5}f(x)\ge x\Longrightarrow\lim_{+\infty}f=+\infty et g\le0\Longrightarrow(\forall x)\hspace{5}f(x)\le x\Longrightarrow\lim_{-\infty}f=-\infty et aucun de ces deux cas ne peut se produire vu la décroissance de f.
Enfin g ne peut s'annuler plus d'une fois puisqu'elle est strictement décroissante


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