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Exo proba

Posté par
Fred9393937
17-05-21 à 22:26

Bonjour,
Je bloque sur un exo qui me parait semble simple pourtant...

Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi de Poisson de paramètre lambda.
Soit Y définie par :
Y=X/2 si X est pair
Y= 0 si X est impair

1) déterminer la loi de Y
2) calculer l'espérance et la variance de Y

Merci d'avance

Posté par
Fred9393937
re : Exo proba 17-05-21 à 22:26

Fred9393937 @ 17-05-2021 à 22:26

Bonjour,
Je bloque sur un exo qui me semble simple pourtant...

Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi de Poisson de paramètre lambda.
Soit Y définie par :
Y=X/2 si X est pair
Y= 0 si X est impair

1) déterminer la loi de Y
2) calculer l'espérance et la variance de Y

Merci d'avance
Fred9393937

Posté par
LeHibou
re : Exo proba 17-05-21 à 22:30

Bonsoir,

Ça n'a pas beaucoup de sens, X est une variable réelle, les qualificatifs pair/impair ne s'appliquent qu'à des entiers...

Posté par
Fred9393937
re : Exo proba 17-05-21 à 22:45

LeHibou
Bonsoir,
Je me suis posé la même question, pourtant je n'ai fais que recopier le sujet.

Peut-être qu'il faut considérer X comme un entier et résoudre l'exercice avec cette condition? (même comme ça je ne vois pas comment faire...)

Posté par
lionel52
re : Exo proba 18-05-21 à 08:55

Oui bon, une loi de poisson ça reste entier donc je ne vois pas le problème.

Pour k>0 que vaut
P(Y=k)?

Et tu pourras en déduire aussi sans calcul P(Y=0)

Posté par
Fred9393937
re : Exo proba 18-05-21 à 19:52

Ce que je fais est sûrement faux mais je tente :

Je passe par la loi des proba totales :

P(Y=k)= \sum P(Y=k|X=j)*P(X=j)

On va distinguer 2 cas selon si X est pair ou si X est impair

Prenons X=2*n avec n en entier alors Y=X/2 donc P(Y=X/2)= \sum_P(Y=X/2|X)*[ (\lambda)^2n * exp(-\lambda) \ (2n!)

Et voila je ne sais pas allez plus loin ><


Merci d'avance

Posté par
verdurin
re : Exo proba 18-05-21 à 20:29

Bonsoir,
on peut penser aux fonctions hyperboliques.

\sinh(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}

Posté par
Fred9393937
re : Exo proba 18-05-21 à 21:08

Bonsoir,

Je ne vois vraiment pas où en venir avec les fonctions hyperboliques puisqu'il y a un produit à l'intérieur de la somme qu'on ne peut pas sortir d'après ma formule [ P(Y|X)].

Ou alors ma formule de départ est fausse??
Merci d'avance

Posté par
Fred9393937
re : Exo proba 18-05-21 à 22:11

Bon après reflexion je pense avoir une piste:

Si X est pair, alors P(Y=k)=P(X=2k) ce qui suit bien  une loi de poisson ?

Si X est impair alors P(Y=0)= somme P(X=2k+1) ce qui donnerait du sinh?

Posté par
verdurin
re : Exo proba 18-05-21 à 23:15

Ce que tu écris n'a aucun sens.
On a, si k\neq 0, P(Y=k)=P(X=2k)=\frac{\lambda^{2k}}{(2k)!}e^{-\lambda}

Posté par
Fred9393937
re : Exo proba 18-05-21 à 23:32

Oui désolé je me suis mal exprimé, mais c'est effectivement ce que j'ai trouvé pour X pair ( non nul)

Dans le cas ou X est impair,  on aura alors P(Y=0)=P(X=0)+ la somme des P(X impair)

Donc P(Y=0)=exp(-lambda) + exp(-lambda)*sinh(lambda)

Je ne vois pas comment poursuivre

Merci d'avance

Posté par
Ulmiere
re : Exo proba 19-05-21 à 13:34

Je ne sais pas si tu as bien compris que la distinction X pair/X impair ne sert que pour définir (presque sûrement) la variable aléatoire Y. Sous le signe P, tu ne peux plus, et ne dois plus, faire de distinction. On a Y = \dfrac{X}{2}\times 1_{2\mathbb{N}}(X) P-presque-sûrement.

donc Y est à support dans \mathbb{N} et P(Y=k) = P(X\times 1_{2\mathbb{N}}(X) = 2k).

Sauf que 2k est toujours pair donc si X(\omega)1_{2\mathbb{N}}(X) (\omega) = 2k avec k>0, alors X(\omega) = 2k forcément. Ce qui revient à caluler P(X=2k).
Le cas k=0 correspond par contre à X(\omega) = 0 ou X(\omega) impair, par intégrité de \mathbb{R}, ce qui revient à calculer la masse donnée à (2\mathbb{N}+1) \cup \{0\} par la loi de X

Posté par
Ulmiere
re : Exo proba 19-05-21 à 13:37

Ca c'est pour le raisonnement. Pour le calcul, dérive ton expression par rapport au paramètre de ta loi de Poisson et regarde ce qui se passe en termes d'équation différentielle  
Condition initiale => problème de Cauchy

Posté par
Fred9393937
re : Exo proba 02-06-21 à 23:18

Bonjour,

Si je reprend mon expression concernant le cas X impair,  je dois donc  calculer la masse donnée à [2n+1]U{0} par la loi de X.

Je trouve donc P(Y=0)= lambda*exp(-lambda) + sinh(lambda)*exp(-lambda)

En dérivant et en simplifiant, sauf erreur de ma part, on trouve (P(Y=0))'= exp(-lambda)-lambda*exp(-lambda) + exp(-lambda)

Je ne vois pas comment continuer et ou on veut aller pour résoudre cet exercice

Merci d'avance

Posté par
Fred9393937
re : Exo proba 03-06-21 à 18:00

Up

Posté par
matheuxmatou
re : Exo proba 03-06-21 à 18:17

bonsoir

c'est quoi ton problème ?

pour k * :

P(Y=k)=P(X=2k)=\dfrac{\lambda^{2k}}{(2k)!}\;e^{-\lambda}

et

P(Y=0)=P(X=0)+\sum_{k=0}^{\infty}P(X=2k+1)=\cdots=e^{-\lambda}(1+sh(\lambda))=\dfrac{2e^{-\lambda}+1-e^{-2\lambda}}{2}

sauf erreur

Posté par
Fred9393937
re : Exo proba 03-06-21 à 18:40

Bonjour,

Mon problème c'est pour la question 2) avec le calcul de l'espérance et de la variance.

Je n'ai pas d'idée sur la méthode à suivre...

Merci par avance

Posté par
matheuxmatou
re : Exo proba 03-06-21 à 23:31

l'espérance c'est

E(Y)=\sum_{k=0}^{\infty}k\;P(Y=k)=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k\lambda^{2k}}{(2k)!}=\dfrac{\lambda\;e^{-\lambda}}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{2k\lambda^{2k-1}}{(2k)!}

\cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}

que penses-tu de sa dérivée ?

Posté par
matheuxmatou
re : Exo proba 03-06-21 à 23:35

et plus simplement

E(Y)=\sum_{k=0}^{\infty}k\;P(Y=k)=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k\lambda^{2k}}{(2k)!}=\dfrac{\lambda\;e^{-\lambda}}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\lambda^{2k-1}}{(2k-1)!} = \dfrac{\lambda\;e^{-\lambda}}{2}\;\sinh(x) = \dfrac{\lambda\;(1-e^{-2\lambda})}{4}

Posté par
matheuxmatou
re : Exo proba 03-06-21 à 23:38

Fred9393937 @ 02-06-2021 à 23:18


Je trouve donc P(Y=0)= lambda*exp(-lambda) + sinh(lambda)*exp(-lambda)


je ne vois pas bien d'où peut venir ce "lambda" .... !

donc déjà dans la question 1 il y a un problème

Posté par
matheuxmatou
re : Exo proba 03-06-21 à 23:39

et pour la variance

V(Y) = E(Y²) - (E(Y))²

Posté par
matheuxmatou
re : Exo proba 04-06-21 à 15:10

et pour le calcul de E(Y²) je te propose la remarque suivante :

k^2 = \dfrac{1}{4}(2k)(2k-1)+\dfrac{1}{2}(2k)

Posté par
Fred9393937
re : Exo proba 05-06-21 à 13:39

Bonjour,

Merci pour tes réponses précises, j'ai deux questions les concernant :

1- ne doit-on pas distinguer l espérance de Y selon si X est pair ou impair?

2-ici, tu as tres bien résolu la question en simplifiant le k grâce a la somme et en sortant un sinh sans passer par une dérivée, où voulais-tu tu en venir avec la dérivée ? C'est une deuxième méthode pour traiter la question?

Merci par avance

Posté par
matheuxmatou
re : Exo proba 05-06-21 à 23:00

1 : tu as la loi de Y alors c'est fini cette histoire de parité !
2 : lis le message suivant, il n'est plus question de dérivée et c'est plus simple



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