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exo série

Posté par
immortal 20-05-08 à 10:36

Bonjour,
Je dois montrer ça:
lim (-1)^n*(n+1)^p*exp(-nt) = 0 pour tout p entier pair

(la somme va de n=0 à +infini, la limite est en t tend vers 0+)

quelqu'un peut m'aider?
Merci d'avance.

Posté par
jeansebre : exo série 20-05-08 à 11:38

Bonjour
Commençons par écrire cela de manière lisible:

3$\rm\lim_{t\to 0+}\;\;\Bigsum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)^{2p}e^{-nt} = 0 avec p entier

Sauf erreur

Posté par
jeansebre : exo série 20-05-08 à 11:46

Peut-être montrer une convergence uniforme...

Posté par
perroquetre : exo série 20-05-08 à 12:13

Bonjour, immortal et jeanseb

Pose   3$ f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{(n+1)t}

Il n' y a pas de difficulté à montrer que:  3$ f^{(p)}(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n(n+1)^p e^{-(n+1)t}

Ce que tu cherches à démontrer est donc que:  3$ \lim_{t\rightarrow 0+}e^t f^{(2p)}(t)=0

Or:  3$ f(t)=\frac{e^{-t}}{1+e^{-t}}=\frac{1}{2}\left( 1-th\frac{t}{2}\right)

Comme  th(t/2) est une fonction impaire de classe C^infini sur R, ses dérivées d'ordre pair sont impaires et leur valeur en 0 est nulle.

Posté par
immortalre : exo série 20-05-08 à 12:18

Merci beaucoup Perroquet.
A jeanseb: tu as oublié p pair, mais sinon c'était ça.
Excuse ma méconnaissance du langage latex.

Posté par
jeansebre : exo série 20-05-08 à 20:34

Bonsoir immortal et perroquet

Citation :
tu as oublié p pair,


Euh, non: j'ai d'abord remplacé p par 2k puis par 2p, vu que p n'intervient nulle part ailleurs. C'est pourquoi j'ai précisé: "avec p entier".

J'ai fait cela comme un exercice de \LaTeX...

Posté par
jeansebre : exo série 20-05-08 à 20:36

Sinon, bravo, perroquet. C'est très élégant comme démonstration.

Posté par
immortalre : exo série 22-05-08 à 21:48

ok autant pour moi j'avais pas vu ^^
j'ai voulu être plus désagréable que toi et j'ai perdu x_x.
au plaisir


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