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Exo Suite entiere complexe avec intégrale
Hello,
J'ai un exercice de Math qui me pose probleme sur les serie entiere. Voila le sujet :
Soit la serie entiere complexe S anzn (somme des a indice n z puissance n)
avev a(n) = Ie-ttn.dt (exp(-t) t puissance n)
1.
a. sens de var de la suite (an)
b. Relation entre an et an+1
c. MQ : n*an < 1/e < (n+1)*an
d. Deduire que : |z|n/en+1 < |asub]n[/sub]zn | < |z|n/(e*n) (pour tout n >1)
2.
a. Rayon de convergence de la serie
c. Convergence de la serie selon la valeur de TETA avec z = R*eiTETA
* A priori les questions 1a et 1b sont plus que liés non ? On Trouve a(n+1)/a(n) et l'on en deduis si c'est une suite croissance ou décroissante. J'avais pensé a chercher la relation avec les IPP mais ça ne m'a rien donné
.
* Je ne sais pas par quoi commencer pour la question 1c
* J'ai reussis la 1d
* Pour la 2a) je pense faire lim (an+1/an).
1. Pouvez-vous m'aider à me débloquer (questions 1a et 1b) ?
2. Pouvez-vous me dire si je pars sur de bonnes pistes pour les autres questions ?
D'avance, merci
Bonjour, Geoffroy
D'abord, je pense que l'intégrale est prise pour t variant de 0 à 1 (ce n'est pas précisé dans ton post).
Pour la question 1a: comme t^(n+1)e^(-t) est inférieur à t^n e^(-t), pour t dans [0,1], en intégrant cette inégalité sur [0,1], on obtient que:
a(n+1) est inférieur à a(n)
Pour la question 1b: une IPP permet d'obtenir a(n+1) en fonction de a(n). La relation de récurrence obtenue sera:
a(n+1)=-1/e +(n+1)a(n)
Pour la question 1c: on utilise la relation de récurrence ci-dessus. Comme a(n+1) est positif, on en déduit que: (n+1)a(n) > 1/e
Par ailleurs, toujours d'après la relation de récurrence: na(n) = 1/e +a(n+1)-a(n). Comme la suite (a(n)) est décroissante: na(n)<1/e
Pour la question 1/a. au lieu d'utiliser le rapport, fais la différence et les choses seront plus faciles ...
Pour la 1/b. Il suffit de faire une intégration par parties :
u' = exp(-t) et v = t^n
pour la 1/c j'ai besoin des bornes de ton intégrale !
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