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exo suites un peu ch***

Posté par jacko78 (invité) 21-12-04 à 18:04

Soit (Un) (n superieur ou egal a 1) une suite de reels strictement positifs verifiant les 2 propriétés suivantes:
  - pour tout couple d'entiers(m,n) de N*², Umn=Um*Un
  - il existe un reel strictement positif A tel que, pour tout couple (m,n) de N*², si m< ou =n ,  alors Um< ou =AUn.

On veut montrer qu'il existe un reel positif p tq, pour tout n de N*, Un=n^p

1) Montrer que U1=1.
La aucun probleme on a U1=(U1)^2  or U1>0 dc U1=1

2) Montrer que pour tout couple (r,k) de N* x N,
    U(r^k)=(Ur)^k
Une recurrence suffit et l'égalité est démontrée

3) Soit r de N* , r> ou =2. Montrer qu'il existe un reel d(r) tq, pour tout entier n de la forme r^k, ou k est un entier positif, Un=n^d(r). Exprimer d(r) en fonction de r et de Ur.

4) Soit (r1,r2) de N*², r2>r1> ou =2. On introduit alors les reels d(r1) et d(r2) définis selon la question précédente.
  a) Soit k de N*. Montrer qu'il existe un entier q tq r2^k< ou =r1^q<r2^(k+1).
  b) En deduire que (r2^k)^d(r2)< ou =A(r2^(k+1))^d(r1)    ainsi que (r2^k)^d(r1)< ou =A(r2^(k+1))^d(r2)
  c) En faisant tendre k vers l'infini, déduire l'égalité d(r1)=d(r2). Conclure

Voila a partir de la 3) je galere séverement,si quelqu'un veut s'y attaquer et ne comprend pas l'énoncé sous cette ecriture je peux envoyer l'original

Merci d'avance...

Posté par
franzre : exo suites un peu ch*** 21-12-04 à 22:18

3/

Par analyse et synthèse

si d(r) existe, en particulier pour k=1, u_r=r^{d(r)}\;\Longleftrightarrow\;d(r)=\frac{\ln u_r}{\ln r}

La question 3 revient à prouver  que \forall k \in {\mathbb N}, u_{r^k}=\(r^k\)^{d(r)}

D'après le 2/
\forall k \in {\mathbb N}, u_{r^k}=\(u_r\)^k=\({r^{d(r)}}\)^k=\({r^k}\)^{d(r)}
CQFD

           \array{|c100|$\hline \vspace{5}\\ {\large d(r)=\frac{\ln u_r}{\ln r}}\\ \vspace{5}\\\hline


4/
4 - a)
En passant par les logarithmes, la double inégalité revient à prouver
\exists q \in {\mathbb N} \mbox{ tel que } k \ln r_2 \le q \ln r_1 \lt (k+1) \ln r_2

\exists q \in {\mathbb N} \mbox{ tel que } k \frac { \ln r_2}{ \ln r_1} \le q \lt (k+1)\frac { \ln r_2}{ \ln r_1}

Or r_2 > r_1\ge 2 donc \frac { \ln r_2}{ \ln r_1} \gt 1
L'intevalle \[ {k \frac { \ln r_2}{ \ln r_1} \; , \; (k+1)\frac { \ln r_2}{ \ln r_1} } \right] est de longueur strictement supérieure à 1 et contient donc l'entier
              \array{|c100|$\hline \vspace{5}\\ {\large q=E\(k\, \frac { \ln r_2}{ \ln r_1}\) + 1}\\ \vspace{5}\\\hline


La suite vient

Posté par
franzre : exo suites un peu ch*** 21-12-04 à 22:45

4-b)
D'après le 4-a) et l'énoncé

\array{ccl$ r_2^k \le r^_1^q < r_2^{k+1} & \Longrightarrow & u_{r_2^k} \le A.u_{r_1^q} \le A. (A.u_{r_2^{k+1}} ) \vspace{5} \\ & \Longrightarrow & \(r_2^k\)^{d(r_2)} \le A.\(r_1^q\)^{d(r_1)} \le A^2. \(r_2^{k+1} \)^{d(r_2)}

En réutilisant l'encadrement de r_1^q, on parvient aux deux inégalités demandées.



4-c)
Tu reprends chacune des inégalités, tu passes par les logarithmes et tu regroupes les termes en k. Une petite discussion te permet de conclure rapidement que
              \array{|c100|$\hline \vspace{5}\\ {\large d(r_1) = d(r_2) }\\ \vspace{5}\\\hline


A partir de là , d(r) est undépendant de r et vaut une constante \large d

et donc

              \array{|c250|$\hline \vspace{5}\\ {\large \exists d \in {\mathbb R} \; {\mbox tel que } \forall n \in {\mathbb N} \; \; u_n = n^d }\\ \vspace{5}\\\hline

Posté par jacko78 (invité)re : exo suites un peu ch*** 22-12-04 à 15:40

merci bcp pr toutes ces explications je m'y remet de suite
encore merci

Posté par jacko78 (invité)re : exo suites un peu ch*** 22-12-04 à 16:59

Est ce possible d'avoir plus de détails sur cette discussion pour la question 4) b) pour laquelle je ne vois pas bien comment le fait de faire tendre k vers l'infini va me permettre de conclure... Merci

Posté par jacko78 (invité)re : exo suites un peu ch*** 22-12-04 à 18:15

4) c) plutot... desolé et merci d'avance franz

Posté par
franzre : exo suites un peu ch*** 22-12-04 à 21:45

La première inégalité du 4-b) conduit à

k.d(r_2)\, \ln r_2 \le (k+1).d(r_1)\, \ln r_2 + \ln A
soit
k\, \ln r_2 \(d(r_2)-d(r_1) \) \le d(r_1)\, \ln r_2 + \ln A

Cette inégalité valable pour tout entier k implique lorsque k tend vers \infty que \(d(r_2)-d(r_1) \) \, \ln r_2 \le 0


La seconde inégalité du 4-b) conduit à

k.d(r_1)\, \ln r_2 \le (k+1).d(r_2)\, \ln r_2 + \ln A
soit
k\, \ln r_2 \(d(r_1)-d(r_2) \) \le d(r_1)\, \ln r_2 + \ln A


La même considération lorsque k tend vers \infty conduit à \(d(r_1)-d(r_2) \) \, \ln r_2 \le 0


Donc \(d(r_1)-d(r_2) \)\,\ln r_2 = 0

Comme \ln r_2\neq 0


              \array{|c100|$ \hline \\ \vspace {} \\ \large d(r_1)=d(r_2) \\ \vspace {5} \\\hline }


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