Niveau autre

éxo sur dérivation

Posté par pacaf (invité) 22-02-06 à 20:30

Bonjour

J'ai un petit problème avec 2 éxo :

Ex 1
Soit $f$ fonction de $I$ dans $R$
a) On suppose qu'il éxiste $k>0$ $\alpha>1$ tel que : $\forall (x,y) \in R^2, abs(f(x)-f(y)) \leq k\timesabs(y-x)^\alpha$ où abs désigne la valeur absolue
Il faut montrer que f est constante

b) $I=[a,b] a<b$ et $f$ de classe $C^1$ sur $I$ avec $f(b)-f(a)=(b-a)Supf'(t)$ avec $t \in [a,b]$
Il faut montrer que f est affine sur [a,b]

Ex 2

1) $f$ définie sur $[a,b]$ intervalle de $R$ $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ . $\alpha=Supf(t)$ $t \in [a,b]$
a) Prouver que $\alpha$ éxiste
b) Montrer que si $f(a) \neq \alpha$ et $f(b) \neq \alpha$ alors il éxiste $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)=0$

2) $f$ dérivable sur $R$ et $\lim_{x\to\infty} f(x)=0=\lim_{x\to-\infty} f(x)$
Il faut montrer que qu'il éxiste $c \in R$ tel que $f'(c)=0$

3) $f$ définie et continue sur $[0,1]$ , $f$ non constante et dérivable à droite et à gauche en tout point de $[0,1]$ . on suppose $f(0)=f(1)$
Il faut montrer qu'il éxiste $c \in R, f'_d(c)\times f'_g(c) \geq 0$

4) $f$ définie et continue sur $[a,b]$ dérivable sur $]a,b[$ avec $f(a)=f(b)=0$ soit $d \in R-[a,b]$ .
Montrer qu'il éxiste $c \in ]a,b[$ tel que la tangente a $C_f$ au point $C(c,f(c))$ passe par le point $D(d,0)$

Je vous remercie d'avance pour votre aide

Posté par re : éxo sur dérivation 22-02-06 à 20:49

on peut étudier la limite du taux de variation de f en $x_0$
quelquesoit $x\in \mathbb{R} / \{x_0}$ : $0 \le |f(x)-f(x_0)|\le k \times |x-x_0|^{\alpha}\Longleftrightarrow 0 \le |\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}|\le k |x-x_0|^{\alpha-1}$
grâce au au théorème des gendarmes on trouve que $f^'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$
et cela quelquesoit $x_0 \in \mathbb{R}$
donc f est constante

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse en post-bac
21 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

éxo sur dérivation

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths