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Niveau maths sup
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exo sur espaces vectoriels

Posté par
roxane
20-01-05 à 18:50

bonjour!

j'aurais besoin d'aide sur un ex sur les sev svp!

soient E le Cev C^3 et a C

on note F={(x,y,z) C^3,{x+ay+a²z=0}
                               (a(barre))x+y+az=0

G={-a²,+,i+a),(,)C²}

1)montrer que F et G sont des sev de C^3 et determiner une base et la dimension de chacun (discuter selon a)


les cas que j'ai sont a=1, a=-1, a=i et a=-i; lorsque a différent de ses valeurs, j'ai dim f=1


pour G j'ai dim=2 mais pas selon des valeurs de a

2)determiner une condition nécéssaire et suffisante sur a pour avoir dimF+dimG=3

3)On suppose la condition de 2) remplie.Montrer que F et G sont supplémentaire dans E

je voudrais montrer que F inter G =0

sient (x,y,z)C
determiner (b,c,d,e,f,g)C^6 tq
(x,y,z)=(b,c,d)+(e,f,g)
(b,c,d)F
(e,f,g)G
j'y arrive pas!

voila quelqu'un peu-il m'aider svp?

Posté par
franz
re : exo sur espaces vectoriels 20-01-05 à 21:33

1/

F=\{ {(x,y,z) \in {\mathbb C}^3,\{ { \array{x+ay+a^2z=0 \\ \bar a x+y+az=0} } \.\;\; }\}


\bullet      si a=0

               F=Vect \( \array{0\\0\\1} \)

\bullet     si a\neq 0
\array{c100c20c150$x\in F & \Longleftrightarrow & \{ { \array{x+ay+a^2z=0 \\ |a|^2 x+ay+a^2 z=0} } \. \\ \vspace{5} \\ & \Longleftrightarrow & \{ { \array{x+ay+a^2z=0 \\ (1-|a|^2) x =0} } \. \\

\bullet     si |a|\neq 1
\array{c100c20c150$x\in F & \Longleftrightarrow & \{ { \array{x =0 \\ y=-a z} }

               F=Vect \( \array{rrr$0\\-a\\1} \)


\bullet     si |a| = 1

               F=Vect \( \array{rrr$0\\-a\\1} \)\( \array{1\\0\\0} \)






Posté par
franz
re : exo sur espaces vectoriels 20-01-05 à 21:46

G=\{ { \( \array{x-a^2y \\x+y \\ i x+ay} \)} \;\; ,{(x,y) \in {\mathbb C}^2 }\}=\{ { x\( \array{1\\1\\i} \)} \;+\; y\( \array{rrr$-a^2 \\1 \\ a} \) \;\; ,{(x,y) \in {\mathbb C}^2 }\}

\bullet          Si a=i
        \( \array{rrr$-a^2 \\1 \\ a} \) = \( \array{1\\1\\i} \)    et
        G = Vect\( \array{1\\1\\i}\)

\bullet          Si a\neq i

        G = Vect\( \array{1\\1\\i}\) \( \array{rrr$-a^2 \\1 \\ a} \)


Posté par
franz
re : exo sur espaces vectoriels 20-01-05 à 21:53

2/

\dim F + \dim G =3 \Longleftrightarrow \{ \array{a=i \\ \vspace{5} \\ {\rm ou} \\ \vspace{5} \\ |a| \neq 1}

Posté par
franz
re : exo sur espaces vectoriels 20-01-05 à 21:54

Je te laisse finir.

Posté par
roxane
re : exo sur espaces vectoriels 20-01-05 à 22:28

bonjour frantz merci pourton aide !

pour G j'ai la même chose
mais pour F j'ai séparé les cas a=1,a=-1,a=i,a=-i
si a=1 j'ai F=vect({(1,0,-1),(0,1,-1)})
a=-1 F=vect({(0,1,1)})
a=i F=vect({1,0,1),(0,1,i)})
a=-i F=vect({(1,0,1),(0,1,i)})
donc c'est faux?

Posté par
franz
re : exo sur espaces vectoriels 21-01-05 à 17:53

Tout d'abord toutes mes excuses
\bullet \;\;\;|a| = 1 \hspace{150}F=Vect \( \array{rrr$0\\-a\\1} \)\( \array{rrr$-a^2\\0\\1} \)

Quant à ta réponse, c'est partiellement vrai : nos réponses sont identiques dans les cas particuliers que tu soulignes (on n'a pas choisi les même vecteurs de la base) mais tu oublies toutes les valeurs a=e^{i\alpha} de module 1 pour lesquelles \dim F=2

Posté par
roxane
re : exo sur espaces vectoriels 22-01-05 à 11:42

ah oui j'avais oublié tout les autres cas e^ia.

cependant je trouve pas pareil pour vectF qd le module de a est 1.

j'ai F=vect({(-a,1,0),(-a²,0,1)}) si x en fct de y et z.
F=vect((1,-1/a,0),(0,-a,1)}) si y en fct de x et z
F=vect({(1,0,-1/a²),(0,1,-1/a)}) si z en fct de x et y.

c'est faux?

Posté par
franz
re : exo sur espaces vectoriels 22-01-05 à 16:05

On a bien la même chose
par exemple :

 \( \array{rrr$ 1\\ 0\\ -\frac 1 {a^2}} \)=-\frac 1 {a^2}\( \array{rrr$-a^2\\0\\1} \)

Ces deux vecteurs étant colinéaires appartiennent à la même droite vectorielle.

Posté par
roxane
re : exo sur espaces vectoriels 22-01-05 à 17:32

ah ok dac merci bcp!


pour la 3)j'essaie de montrer que FG={0} mais je trouve (x,x,-ix)
car j'ai x=y=+ et i(+)z

est-ce que tu saurais cmt faire?

Posté par
roxane
re : exo sur espaces vectoriels 22-01-05 à 21:11

svp, j'y arrive vraiment pas pour la 3)a) et b)

est ce que je dois faire 3 cas: a=0, a=i et module de a différent de 1?

svp je bloque vraiment...

Posté par
roxane
plzzzzzz 24-01-05 à 09:47

bonjour,


3)a) je bloque tjrs

pour la 3)b) j'ai réussi pour le cas a=i

mais je n'arrive pas pour le cas ou le module de a est différent  de 1, je dois le rendre demain svp, quelqu'un pourrait-il m'aider? svp..



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