La seule idée que je voie c'est d'utiliser la relation :



et en passant à la limite ( car ) :



Mais je ne vois pas où se situe la contradiction si est différent de 0.

Ce raisonnement est-il juste ?

Merci,
a plus

bonsoir peej

En reprenant tes notations, il suffit de montrer que A est vide.
Dans le cas contraire, considérons un élément x de A.
Alors pour tout entier naturel non nul, on a la double inégalité . En faisant tendre n vers l'infini, on a , ce qui est absurde.
On en déduit alors que A est vide et donc que .
A présent, montrons que .
Supposons par l'absurde que ce ne soit pas le cas.
On sait que A_nX. Comme f est positive, alors .
Or , donc 1, ce qui absurde.
d'où .
Enfin, pour terminer, on remarque que la suite (A_n) est décroissante (au sens de l'inclusion), donc comme éléments de la suite sont de mésure finie, on en déduite que lorsque n tend vers l'infini, la quantité [tex]\mu (A_{n})/tex], (A_n)=(A)=0, d'où le résultat.

Kaiser

désolé, y'a eu un bug.

Voici ce que je voulais écrire à la fin :
"la quantité (A_n) tend vers (A_p)=(A)=0"

Kaiser

Bonjour,
ce n'est pas très compliqué.
Suppose que c'est faux, alors si tu appelles L l'ensemble limite (ie l'intersection des An) alors que vaut l'intégrale de f sur L?

merci kayser pour ces explications ;

en fait, si j'ai bien compris, le point de ce probleme est que

si (An) est une suite décroissante d'ensembles et An est de mesure finie pour tout n suffisamment grand (le résultat n'est pas forcément vrai si An n'est pas de mesure finie pour n assez grand!!!).

Ca a l'air assez important ca !! Je retiens


Merci,

a plus

Non c'est l'inverse, c'est pour un n quelconque, tant que celui ci existe.
Par exemple tu peux prendre A1=R A2=[2,+oo[ A3=[3,+oo[ et ainsi de suite, et à un moment donné, tu prends tes An de mesure finie.
L'intersection sera plus petite que le plus petit de tes ensembles, et comme celui ci est de mesure finie ...

Note que tu as la meme chose, mais de maniere inversée avec l'union.

Il me semble que ce sont des lemmes importants en théorie de la mesure, c'est bizarre que tu n'ai pas vu ceci.
A+

bsr Otto, et merci de m'avoir répondu,

je ne voie pas en quoi ce que j'ai écrit ne convient pas. Ton exemple satisfait aux hypothèses que j'ai dites plus haut (An suite décroissante, et pour tout n suffisamment grand, An de mesure finie).

Autrement, je ne voie quelle serait ta méthode pour montrer de manière facile que tend vers 0 en évaluant l'intégrale de f sur A (où A est l'intersection des An). En effet cette intégrale est nulle car A est clairement de mesure nulle, mais cela ne montre pas que tend vers 0, non ?

Mais effectivement, il suffit alors de prouver que An est de mesure finie pour tout n suffisamment grand pour pouvoir appliquer le résultat cité plus haut, et on retombe alors exactement sur la démonstration de Kayser.

As-tu une autre méthode plus simple ?

P.S. c'est vrai, j'ai vu la théorie de l'intégration il y a un an, alors il y a des lemmes et des résultats que j'ai un peu oublié

A plus et merci

" c'est vrai, j'ai vu la théorie de l'intégration il y a un an, alors il y a des lemmes et des résultats que j'ai un peu oublié"

Il n'est pas interdit d'oublier, je pensais que tu ne connaissais pas ces resultats, et je trouvais ca bizarre, parce que beaucoup de resultats reposent la dessus.

Pour ce qui est de ce que tu as dit, je trouve ca maladroit, je ne comprend pas trop ce que tu dis en fait.
Tu dis qu'il suffit que pour un n assez grand, la mesure doit etre finie. Je pense que je me suis un peu emmele avec l'idee du "assez grand" parce qu'en fait on en a pas besoin (grand ou pas tant qu'il existe on est content).

Sinon ma demonstration repose sur le fait que si ton ensemble B (que je defini comme intersection des An) est de mesure non nulle, alors l'integrale de la fonction f sur X est la somme des integrales de f sur X-B et sur B.
Notamment la premiere est positive, et la seconde est plus grande que 1.
En fait, je pense qu'il faut un peut travailler pour montrer que la somme des 2 sera certainement plus grande que 1. (on doit pouvoir conclure facilement, mais pas immediatementm il faut faire attention au fait que les inegalites strictes ne se transportent pas necessairement, mais ici on peut voir que ca va marcher)
A+

salut otto,

euh je ne comprends pas trop ta démonstration ;
Que veux-tu montrer ? Que l'intersection des An est de mesure nulle ?

Ceci m'a l'air facile (voir le premier post de Kayser), mais ne suffit pas pour montrer que tend vers 0.

D'où l'importance de montrer que les An sont de mesure finie , non ? (et là, on retombe sur la démonstration de Kayser)

a plus

L'idée de ma démonstration est que l'on suppose que si elle n'est pas nulle, alors l'intégrale de f sur cet ensemble va nécessairement être strictement plus grand que 1, ce qui est impossible.

Il n'est pas nécessaire de passer par l'absurde pour montrer que l'intersection de est vide :

où on a noté .

(petite correction de frappe)

Il n'est pas nécessaire de passer par l'absurde pour montrer que l'intersection de  est vide :

où on a noté .

De même, il n'est pas nécessaire de raisonner par l'absurde pour montrer que
. Les inégalités écrites par kaiser (posté le 14/12/2005 à 22:13) montrent que