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Exo sur les complexes

Posté par laroddus (invité) 13-12-06 à 18:41

Je bloque sur cet exo.
Soit z1,...,zN, N nombres complexes.
Montrer que l'on peut trouver un sous ensemble S de {1,..,N}, tel que
\large |\sum_{k \in S} z_k | \geq \frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{N}|z_k|
Je pensais a une reccurence mais ca donne a priori rien... Quelqu'un a ue idee? Merci d'avance!

Posté par
Cauchyre : Exo sur les complexes 13-12-06 à 20:03

Bonjour,

j'ai pas demontré mais j'essaye de voir dans le cas extreme.

Je crois avoir remarqué que si tu places tes points  sur le cercle unité tels qu'ils forment un polygone regulier(en gros tes zk sont les racines n-iemes de l'unité) alors plus tu fais augmenter le nombre de points plus on se rapproche de l'égalité. Cependant pour l'instant c'est juste une observation.

Posté par
Rodrigore : Exo sur les complexes 13-12-06 à 20:07

Je crois avoir trouvé une solutio , mais elle est assez compliquée, je double check

Posté par
Cauchyre : Exo sur les complexes 14-12-06 à 00:17

Je pense qu'on peut essayer de prendre pour les sous-ensembles des demi-plans(ca m'a l'air raisonnable) en faisant varier l'angle de la droite qui sépare le plan(bon la c'est pas tres clair sans dessin) et regarder si on peut pas arriver à quelque chose.

Une condition d'appartenance à un demi-plan delimite par une droite d'angle a est que sin(zk-a)>0 par exemple. Il faudrait voir en faisant varier a.

Posté par
Rodrigore : Exo sur les complexes 14-12-06 à 00:24

Bon je poste ma solution, c'est assez tordu... cos+ désigne la partie positive de cos

Soit z_1=r_1e^{i\theta_1},\cdots,z_N=r_Ne^{i\theta_N}, N complexes. Posons S(a)=\{i\in [1,N ]|\cos(\theta_i-a)\geq0\}
On a
\Large |\sum_{k\in S(a)}r_k e^{i\theta_k}| \geq |\sum_{k\in S(a)}r_k e^{i(\theta_k-a)}| \\ \geq \Re(\sum_{k\in S(a)}r_k e^{i(\theta_k-a)}) \\ \geq \sum_{k\in S(a)}r_k \cos(\theta_k-a)


Or
\Large \int_{0}^{2\pi} \sum_{k\in S(a)}r_k \cos(\theta_k-a)da =\int_{0}^{2\pi} \sum_{k=1}^{N}r_k \cos^+(\theta_k-a)da =2\sum_{k=1}^{N}r_k


Donc \Large 1/(2\pi)\int_{0}^{2\pi} \sum_{k\in S(a)}r_k \cos(\theta_k-a)da=1/\pi \sum_{k=1}^{N}r_k
Soit le terme sous l'intégrale est constant et c'est gagné soit il existe \alpha tel que \Large \sum_{k\in S(\alpha)}r_k \cos(\theta_k-\alpha)\geq 1/(2\pi)\int_{0}^{2\pi} \sum_{k\in S(a)}r_k \cos(\theta_k-a)da
Dans tous les cas il existe S \subset [ 1,N] tel que |\sum_{k \in S}z_k|\geq \frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{n}|z_k|

Posté par
Rodrigore : Exo sur les complexes 14-12-06 à 00:25

Si quelqu'un trouve mieux....

Posté par
Cauchyre : Exo sur les complexes 14-12-06 à 00:33

Bien vu ,

Ca suit bien l'idée que je pensais faire mais avec le sinus ca doit marcher pareil.

On pourrait se demander si c'est la meilleure minoration possible?

Posté par
ottore : Exo sur les complexes 14-12-06 à 02:44

La solution se trouve toute crue dans la bible (le Rudin )
a+

Posté par
Cauchyre : Exo sur les complexes 14-12-06 à 19:26

Ok otto

Tiens pendant que j'y suis tu conseilles quoi comme bon bouquin d'analyse complexe hormis le Rudin?

Posté par
Rodrigore : Exo sur les complexes 14-12-06 à 19:40

Il me sembalit bien avoir déja fait ça... Efectivement c'est dans le rudin, c'est autant plus étonant que je m'en sois pas aperçu, c'était mon livre de chevet y a pas si longtemps (j'ai arrété il me donnait des cauchemards!!!)


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