Niveau terminale

exo sur les complexes

Posté par laurelia (invité) 25-09-05 à 20:38

Kikoo j'ai encore besoin d'un petit coup de main

P(z) = (i(conjugué de z) -1)/ z-i, déterminer l'ensemble F des points d'affixe z tels que P(z) soit un réel.

Merci d'avance!

Posté par N_comme_Nul (invité)re : exo sur les complexes 25-09-05 à 20:57

Salut !

Pour lever tout doute ... c'est bien :
$4$P(z)=\frac{i\overline{z}-1}{z}-i$ ?

Posté par laurelia (invité)re : exo sur les complexes 25-09-05 à 21:05

c le tt sur z-i

Posté par minotaure (invité)re : exo sur les complexes 25-09-05 à 21:07

salut
il faut poser z=x+i*y x et y reels.

calculer f(x+iy) et trouver la partie imaginaire de P(x+iy) (et ce en multipliant et en divisant par le conjuge de (z-i) )
P(z) est reel si et seulement si la partie imaginaire de P(x+iy) est nulle...

Posté par N_comme_Nul (invité)re : exo sur les complexes 25-09-05 à 21:51

Resalut !

Sans garantie :

     $P(z)\in\mathbb{R}$ ssi $P(z)=\overline{P(z)}$
ssi
     $\frac{-iz-1}{\overline{z}+i}=\frac{i\overline{z}-1}{\overline{z}-i}$
ssi
     $(-iz-1)(\overline{z}-i)=(\overline{z}+i)(i\overline{z}-1)$
ssi
     $i\overline{z}^2-2\overline{z}-i=-iz^2-2z+i$
ssi
     $i(\overline{z}^2+z^2)+2(z-\overline{z})-2i=0$
ssi
     $i(z-\overline{z})^2+2iz\overline{z}+2(z-\overline{z})-2i=0$
ssi
     $-2{\rm Im}(z)+2i|z|^2+2i{\rm Im}(z)-2i=0$
ssi
     $2i(|z|^2+{\rm Im}(z)-1)-2{\rm Im}(z)=0$
ssi
     ${\rm Im}(z)=0$ et $|z|^2+{\rm Im}(z)=1$
ssi
     ${\rm Im}(z)=0$ et $|z|^2=1$
ssi
     ${\rm Im}(z)=0$ et $|{\rm Re}(z)|^2=1$
ssi
     $z\in\{-1;1\}$

Bon, il doit y avoir un bogue ...

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