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exo sur les fonctions périodiques et convexes

Posté par
jerome20048 24-05-06 à 23:58

voila l'exercice qui m'est posé:

a) f: périodique et bornée, admettant une limite en +
que dire de cette fonction?

b)f: convexe et bornée. Que peut-on dire de cette fonction?

c)Même question si f est convexe et majorée.

Personnellement les "que peut-on dire" ça me déroute...

Posté par
Cauchyre : exo sur les fonctions périodiques et convexes 25-05-06 à 00:45

Bonjour jerome,

pour la a) essaye de montrer que f est constante.

Posté par
jerome20048re : exo sur les fonctions périodiques et convexes 25-05-06 à 11:22

constante, oui ça semble logique, je vais essayer ça. merci Cauchy.

Posté par
costica48re:exo sur les fonctions periodiques et convexes 25-05-06 à 13:14

bonjour!
m{\le}f(x){\le}M \forall{x}\in[o,T]
Supposons que f est non constante:
a)f periodique et non constante-->f n'admette pas de limite en+et-\infty,contradiction
c)f est convexe et majoree-->f est constante

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:exo sur les fonctions periodiques et convexes 25-05-06 à 14:03

Bonjour;
a)Je suppose seulement \fbox{f{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R}} périodique et \fbox{\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lambda\in\mathbb{R}}
soit alos \fbox{\epsilon>0} et \fbox{A\in\mathbb{R}} tels que \fbox{x\ge A\Longrightarrow|f(x)-\lambda|\le\epsilon}
en fixant x\in\mathbb{R} on peut toujours trouver n\in\mathbb{N} tel que x+nT\ge A d'où |f(x+nT)-\lambda|\le\epsilon
et ainsi on voit que \fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\|f(x)-\lambda|\le\epsilon} ceci étant vrai pour tout réel strictement positif \epsilon on voit qu'en fait \fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\f(x)-\lambda=0} et f est bien constante de valeur sa limite en +\infty.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:exo sur les fonctions periodiques et convexes 25-05-06 à 16:12

c)Soit \fbox{f{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R}} convexe et majorée je dis alors que f est constante:
Sinon soit a<b deux réels tels que f(a)\neq f(b)
(*)Supposons alors \fbox{f(a)<f(b)} et considérons la fonction la fonction \fbox{g{:}[b,+\infty[\to\mathbb{R}\\x\to\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}
g est croissante ( par convexité de f ) et majorée par \fbox{\frac{|M|+|f(a)|}{b-a}} ( où M est un majorant de f ) elle admet donc une limite finie \lambda en +\infty ( remarquer que \lambda\ge g(b)>0 ) et ainsi on est sûr de l'existence d'un réel A>b te que \fbox{x\ge A\Longrightarrow\frac{\lambda}{2}\le g(x)} mais alors on aurait \fbox{\forall x\ge A\\f(x)\ge\frac{\lambda}{2}(x-a)+f(a)} ce qui contredit clairement le fait que f est majorée.
(*)Supposons maintenant que \fbox{f(a)>f(b)} et remarquons que la fonction \fbox{h{:}x\to f(-x)} vérifie les mêmes hypothéses que f ( c'est à dire convexe et majorée ) et considérons la fonction \fbox{g{:}[-a,+\infty[\to\mathbb{R}\\x\to\frac{h(x)-h(-b)}{x-(-b)}} le même raisonnement que pour le cas précédent conduit alors à une absurdité.

Posté par
jerome20048re : exo sur les fonctions périodiques et convexes 25-05-06 à 16:27

merci beaucoup.


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