Salut,

connais tu le théorème de Cauchy?

bonsoir Cauchy.

Non je ne connais pas le theoreme de cauchy. et c'est quoi deja?

Si tu as un groupe fini et p premier qui divise l'ordre du groupe il existe un élément d'ordre p(c'est vrai même si le groupe n'est pas abélien).

Donc je pense qu'ici est le montrer dans le cas abélien où cela doit être plus simple.

Après tu as un élément d'ordre p et un d'ordre q, le produit est d'ordre pq.

Mais on peut peut être faire autrement en essayant de montrer directement que ce groupe est cyclique.

Salut.

Oui c est vrai, c est ce que je me disais aussi. Mais bon j'ai un peu du mal a démontrer le théorème de Cauchy dans le cas commutatif.

Bonsoir.

On peut éventuellement utiliser le fait que l'ordre de tout élément de G est un diviseur de l'ordre de G.
Ici, l'ordre d'un élément ne peut donc être que 1, p, q, pq.

A plus RR.

Salut Raymond.

Oui, on peut dire cela avec lagrange. Mais comment tu fais pour conclure.?

Je ne trouve pas la suite...

A plus RR.

Bon en passant par la méthode suggérée par raymond(salut ), on veut montrer que G est cyclique.

G admet un élément qui n'est pas le neutre,si cet élément est d'ordre pq c'est fini.

Si on a un élément d'ordre p et un d'ordre q, pareil c'est fini car alors le produit est d'ordre pq.

Supposons donc que tous les éléments de G différent du neutre sont d'ordre p(c'est pareil avec q) alors en supposant G commutatif on peut montrer que G est isomorphe à (Z/pZ)^k ce qui n'est pas.

Pour ce faire considérons un système de générateurs minimal de G(c'est à dire dont on ne peut extraire un système de générateurs avec moins d'éléments) .

On définit l'application:


.

C'est un morphisme de groupe(par commutativité), surjectif car on a des générateurs, si je dis pas de bêtises c'est aussi injectif.

salut Cauchy.

Tu as dis que : "on peut montrer que G est isomorphe à (Z/pZ)^k ce qui n'est pas."
Pk c'est pas possible?

Bien si par hypothèse ton groupe a pq éléments il ne peut en avoir p^k vu qu'on suppose p et q distincts.

Ok ca marche.
Dernier point: comment tu fais pour montrer que c'est injectif? j'ai essayé de montrer que le noyrau de ton morphisme était réduit a l'élément neutre, mais je n'ai pas réussi.

Si on suppose qu'il existe dans le noyau, si ce n'est pas (0,0...0) il existe un indice i tel que .

Pour pas s'embêter, on suppose que c'est .

Alors .

Ensuite donc:

ou encore

Or est d'ordre p donc en est un générateur c'est à dire que s'exprime par des puissances de cet élément donc finalement par des produits de ce qui contredit la minimalité de nôtre système de générateurs.

Autre solution pour ma dernière assertion, c'est à dire si G est commutatif et tout élément de G est d'ordre p premier alors G est isomorphe à pour un certain k.

On munit G d'une structure d'espace vectoriel, en notant la loi additivement on a que (G,+) est commutatif.

On définit une loi externe :




Ceci est bien défini car si alors car x est d'ordre p donc .

On a donc un espace vectoriel de dimension finie sur donc isomorphe à pour un certain k.