Bonjour,
si f est décroissante et continue, alors elle admet une limite en 0 (je crois que j'ai vu ca en sup, si c'est vrai ca doit pas etre bien méchant à montrer si c'est pas fait dans ton cours).

A partir de là, le résultat est évident puisque suppose que la limite soit finie et non nulle, disons a, alors f est équivalente à a/x et ne peut être intégrable (il y'a un petit argument sutbile à sortir cependant)

Si la limite est infinie, c'est la même idée où tu remplaces l'équivalent par un o.

bonjour otto.

Oui c'est vrai que la limite en 0 est soit finie, soit infini.

mais, si la limite de f est infinie, comment tu peux conclure
que x.f(x)->0 ???

Si la limite est infinie j'obtiens une contradiction avec l'intégrabilité.

Si est prolongeable par continuité en , c'est évident... Sinon au voisinage de , on a , car l'intégrale de Riemann diverge. Ce qui montre déja que et après ?

euh.... je ne vois pas trop comment tu trouve une contradiction otto! tu pourrais detailler?

Pourquoi aurait on |f(x)| < 1/x ?

Bein essaie un peu, on en reparle plus tard, ca fait à peine 5 minutes que je t'ai filé une indication.

non mais parce que je ne suis pas d'accord avec toi!
parce que si on considere la fonction x-> -ln(x). elle est bien decroissante, continue sur ]0,1] et integrable sur ]0,1] ( d'intégrale egale à 1)
et de plus, la limite de cette fonction en 0 vaut +infini.

Mais je te parle de xf(x) pas de f(x).

Parce que sinon 1/racine x est aussi un exemple de plus qui appuie ta remarque.

Oui, attend j'ai joué sur les 2 tableaux là héhé.

J'ai utilisé les hypothèses sur f en croyant qu'elles étaient sur xf(x).

Je dois quitter, je te reviens avec ça plus tard si personne ne t'as répondu.

a+

ouais c'est ce que je me disais aussi.

Bah le but c'est de montrer que au voisinage de 0, j'ai déjà un encadrement trivial (?), c'est pas mal non ?

bonjour soucou.

je pense qu'il faut deja justifer le fait que x.f(x) admet une limite quand x tend vers 0 pour pouvoir passer à la limite.

Ton encadrement est faux avec les arguments que tu nous donnes comme je te l'ai dit.

Bon, on a la limite sur f comme je l'ai dit, c'est donc évident que xf(x) admet aussi une limite en 0.

Ensuite on récupère ce que je disais:

Si xf(x) tend vers une limite finie non nulle a, alors on f(x) est équivalent à a/x en 0. Puisque f est décroissante, nécessairement, f reste de signe constant sur un voisinage de 0.

Si xf(x) tend vers une limite infinie, alors c'est encore plus facile, puisque sur un certain voisinage de 0, xf(x) > M pour M assez grand et f(x)> M/x.

a+

Je te laisse quelques détails cependant.

Par exemple, si ce n'est pas difficile de montrer que xf(x) admet bien une limite, c'est pas nécessairement trivial non plus.

Mais l'essentiel de la démo est là.

a+

je pense que le problème est de montrer que x.f(x) admet une limite! ce qui n'est pas evident je pense!!!

Je dois quitter, je te reviens avec une réponse qui a de l'allure plus tard parce que je me suis laissé emporté par la fougue, je ne suis pas convaincu que xf(x) ai une limite.

ok. a toute

alors............... pas d'idées?

Oui j'ai un truc mais je ne trouve pas ça élégant, je suis sur qu'il y'a un truc qui résoud le problème en 30secondes et qui doit être vraiment élémentaire et ça m'enerve vraiment de ne pas le voir.


Bon, alors supposons que
xf(x) n'ai pas de limite en 0.
Alors on peut trouver deux suites, disons xn et yn telles que
lim yn.f(yn) > lim xn.f(xn) >= 0

Si yn.f(yn) tend vers une limite finie disons l, alors
f(yn)~ l/yn
et puisque f est décroissante, ceci empeche f d'être sommable et donc intégrable (tu feras les détails).

Si yn.f(yn) tend vers +oo, même idée, à partir d'un certain rang n, f(yn) > M/yn pour un M>0 de ton choix.

Même conclusion.

Tu vois que tout ce que l'on a fait avant ne sert à rien finalement.

Je te laisse voir pourquoi f(yn)~l/yn et f décroissante empeche f d'être intégrable.
un petit dessin arrivera à te convaincre.

Cette fois, normalement il n'y a plus de problème, mais c'est possible que je sois passé à coté de quelque chose une fois de plus.

a+

A noter que l'hypothèse de continuité semble ne servir à rien mais ce n'est pas surprenant dans la mesure où une fonction décroissante est continue sauf en un nombre dénombrable de points.

oui je pense que ca marche aisni! en utilisant la comparaison des la serie des yn avec l'integrale!

Oui, j'y pensais depuis un bout, mais je croyais que tu étais en sup, c'est pour ça que je ne voulais pas l'utiliser.
Et surtout je cherchais plus direct...

Désolé, mais je ne comprends pas pourquoi non ne pourrait pas fair référence aux intégrales de Riemann ! Après tout je travaille que dans un voisinage de 0...

Pourrais-tu détailller ?

ah ok! mais bon la notion d'integrabilité est en spé maintenant!

D'accord merci, c'est vrai que j'ai répondu sans trop réflechir.

Oui, c'est pas bien grave, ca arrive à tout le monde de faire ce genre d'erreurs .