u(n+1)=un(1-un) ou u(n+1)-un=un²
La suite est donc décroissante. Elle sera convergente si elle est minorée
Si u0<0, 1-u0>1 et 1-un>1-u0 donc un<u0(1-u0)^n donc diverge
Si u0=0 la suite est identiquement nulle; si u0=1,u1=0 et la suite est nulle à partir du rang 1
Si 0<u0<1 u1=u0(1-u0) donc 0<u1<u0 et en itérant 0<un la suite est minorée par 0, donc elle converge, et cette limite doit vérifier u(1-u)=0 ce ne peut être que u=0
Si u0>1 u1=u0(1-u0)<0, et on est ramené au premier cas: la suite est négative, à partir du rang 1, et diverge

salut romain

tu devrais trouver cvgte vers 0 pour u0 dans ]0,1[

nulle pour u0=0 ou u0=1

divergente vers -oo dans les autres cas

Vérifie...

Philoux

oups

piepalm plus rapide...

Philoux

Par ailleurs, fais-toi le confirmer par SQN...

Philoux

merci à vous deux

Pour tout de dire philoux, je me l'étais déjà fait confirmer par SQN

Mais je voulais une résolution " plus mathématique "

Je crois que j'ai compris le raisonnement de piepalm ( merci à lui ) mis à part que je pense qu'il a voulut écrire :
u(n+1)-un = -un²  surement une faute de frappe !

Merci encore
romain

Ben oui, ça m'arrive souvent!

Re

Une question attenante :

Dans le cas d'une expression Un+1=f(Un) ( de courbe (C) ), est-il admis de raisonner sur l'intersection de (C) avec la 1ere bissectrice ?

merci

Philoux

Bien sûr, et, comme on l'appenait en calcul numérique (du temps où il n'y avait ni tableur, ni même calculettes) il faut que f'(x) soit inférieur à 1 en module pour qu'il y ait convergence: ici f'(x)=1-2x est inférieur à 1 en module pour 0<x<1

merci

comment celà se démontre ce |f'(x)| < 1 ?

a quoi c'est lié ?

Philoux

Il suffit de faire un dessin. En partant d'un point de la 1ère bissectrice, on va au point de la courbe de même abscisse, puis au point de la bissectrice de même ordonnée, etc.. (u(n+1)=f(un)...), et (avec x=f(x)) si 0<f'(x)<1 on obtient un escalier descendant, et si -1<f'(x)<0 un escargot qui s'enroule autour de la solution

Pour répondre a Philoux

En fait,

on peut généraliser ça au cas où l'on a une fonction f de [0,1] dans [0,1]
telle que

avec
Alors il existe un unique point fixe l (cad f(l)=l).

C'est le théorème du point fixe.

Bien sûr si f est dérivable et , on est dans ce cas (inégalité des accroissements finis.

Et dans ce cas, si u(n+1)=f(u(n)), (avec bien sûr u(0) dans ]0,1[) on a lim(u(n))=l

En effet, fixons un N quelconque

on a
pour tout q assez grand (car |u(N)-l| est une constante)

Dans le cas précédent la limite est donc 0, car c'est l'unique point fixe de la fonction f(x)=x-x^2 dans [0,1]

(si je ne me suis pas trompé )