Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Exo topologie sur l'espace des polynomes a racines simples
Bonjour tout le monde.
Je trouve du mal avec lexerice suivant.
On note E=R_n[X] et O={polynomes de E ayant n racines simples}
On considere un polynome Q dans E et on note (z_i) i entre 1 et n ses racines.
On considere r>0 tels que les disques D(z_i,r) soit 2 à 2 disjoints.
Montrer que : il existe a>0 tel que
Pour tout P appartenat à O , ||P-Q||< a ==> chaque racine de P appartient à un disque D(z_i,r) et un seul.
Merci.
Bonjour
Comme tu es en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Tu peux choisir la norme de la convergence uniforme. |Q(z)| est minoré dans le compléméntaire de la réunion de tes disques par m>0.
Il me semble que a=2m convient, mais vérifie...
Pas très envie de rédiger... mais si sup|P(z)-Q(z)|m, en choisissant a assez petit, (m/2 serait peut-être mieux) c'est déjà garanti que P a toutes ses racines dans les disques.
Dsl mais je vois tjrs pas.
Pcq ce que l'on fait, c est qu'on minore |Q| sur le complementaire des disques. mais en quoi P aura toutes ses racines dans les disques.......????
Dans le complémentaire des disques |P(z)|
||P(z)-Q(z)|-|Q(z)||m/2, donc P n'a pas de racine dans l'extérieur. Comme on est dans C, il en a, donc forcément dans les disques.
Non, pour l'instant ce n'est pas clair.
De toute façon on a un problème de racines multiples! je suppose que le but est de montrer que les polynômes à racines simples forment un ouvert, ce qui est vrai, et que je sais démontrer autrement...
Au fait je n'ai pas tres bien posé l'exercice.
Le polynome Q est à racines simples, et le polynome P est quelconque.
Mais ca n'avance à rien.
Le but est de montrer la continuité de l'application:
B(Q,a) ----> C^n
P->(z_1,z_2,.....z_n) ou z_1,z_2 .....z_n sont les racines de P
et on admet aussi que O est un ouvert ( démonstration avec le resultant)
Celà étant dit, tu n'aurais pas une idée sur l'unicité du disque?
Oh, là, là! Si tu sais déjà que O est un ouvert, ça avance...
Tu choisis a d'abord de manière à ce que la boule de centre Q et de rayon a soit contenue dans O, comme ça on ne travaille qu'avec des polynômes P ayant des racines simples, puis tu le rapetisses comme ci-dessus, pour être sur que les racines de P sont dans les disques. Et... je ne vois toujours pas pourquoi c'est unique...
Je Pense que: si on suppose qu'il existe un disque contenant plus d'une racine de P, alors il existe un disque qui ne contient aucune racine de P.
Intuitivement , si on se place sur ce disque, en notant b un minorant de |P| sur ce disque et en choisissant a encore plus petit, on aura par un argument analogue a la demonstration que tu as proposé, que Q>0 sur ce disque la, ce qui est absurde. dans chaque disque contient une racine.
Reste plus qu'à le rediger soigneusement, sauf erreur de calcul bien sur.
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac