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exo transvection

Posté par BioZiK (invité) 21-10-04 à 19:23

bonjour, j'ai un petit exo à faire sur lequel je galère, j'espère que l'un d'entre vous arrivera à m'aider. Je remercie dèjà ceux qui posteront une contribution.Je poste l'énoncé:

E étant un espace de dimension finie, on appelle transvection tout f appartenant à L(E) -{IdE} tel qu'il existe un hyperplan H vérifiant :
i) pour tt x appartenant à H f(x)=x
ii) pour tt x appartenant à E, f(x)-x appartient à H
On dit alors que f est une transvection d'hyperplan H.

Questions:

1) Une projection sur un hyperplan H est-elle une transvection?

2)a) Montrer que si f est une transvection d'hyperplan H, alors il existe une unique droite vectorielle D incluse dans H tq : pour tt x appartenant à E, f(x)-x appartient à D
b) En déduire l'éxistence d'une forme linéaire Phi et d'un vecteur u tq : H=Ker(Phi) et pour tt x appartenant à E f(x)=x+Phi(x)u

3) Montrer que f est une transvection ssi il existe une base de E dans laquelle tous les coefficients de la diagonale de la matrice de f sont égaux à 1, et tous les autres sont nuls à l'exception d'un seul, qui vaut 1.

4) Montrer que f est une transvection ssi 1 est valeur propre dim E et f est différent de IdE. Déterminer le polynôme minimal d'une transvection; ce polynôme minimal caractérise-t'il les transvecions ?

Merci d'avance

Posté par BioZiK (invité)re : exo transvection 21-10-04 à 20:11

personne ne peut m'aider s'il vous plait?

Posté par Roberthue (invité)re : exo transvection 22-10-04 à 10:00

Je suis pas sûr :

1°) On appelle p une projection sur H :
Pour tout x dans H, p(x)=x donc est dans H
Pour tout x dans E\H, p(x) est dans H donc p(x)-x n'est pas dans H car x ne l'est pas.
Une projection n'est pas une transvection.

2°) a) Déjà pour tout x dans H, f(x)-x = 0 donc f(x)-x est dans toute droite de E.
Soit a dans E\H et b = f(a)-a :
E\H est de dimension 1 car H est un hyperplan, donc pour tout x dans E\H, il existe c dans R tel que x=ca
donc f(x)-x = f(ca)-ca = cf(a)-ca = c(f(a)-a) = cb.
Et réciproquement, si d est dans R, il existe y dans E\H tel que f(y)-y = db, il suffit de prendre y = da.
Donc l'ensemble des f(x)-x lorsque x varie dans E\H est l'espace vectoriel engendré par b : c'est donc une droite et elle est unique.

2°) b) Prenons une forme linéraire Phi sur E telle que Phi(x)=0 pour tout x dans H et Phi(x)=c pour tout x dans D (c'est-à-dire x = ca).
Alors on sait que x+Phi(x)(b-a) = x+0(b-a) = x pour tout x dans H et x+Phi(x)(b-a) = x+c(b-a) = x+cb-ca = cb. On en conclut que pour tout x dans E, f(x)=x+Phi(x)(b-a).

3°) On peut facilement démontrer la réciproque de 2b, qui devient alors une équivalence.
On choisit comme base l'ensemble des vecteurs de base de H (ei) et le vecteur e tel que f(e)-e = ek.
f(ei)=ei+Phi(ei)(b-a) =ei car Phi(ei)=0 puisque ei est dans H.
f(e)= e+ek
Alors la matrice de f dans cette base n'a que des 1 sur la diagonale et un autre 1 dans la colonne k.
On fait pareil mais à l'envers pour la réciproque.

4°) On appelle M la matrice de f dans la base choisie comme au 3°, on calcule le déterminant de M-hI en le développant par rapport à la kème colonne : on a Det(M-hI) = + ou - (1-h)^n donc 1 est valeur propre de M de dimension n mais M doit être différente de I pour être une transvection.
Pour le polynome minimal de f, il suffit de revenir à la définition première :
pour tout x dans E, on a f(f(x)-x) = f(x)-x car f(x)-x est dans H. Donc f(f(x))-f(x)=f(x)-x c'est-à-dire fof-2f-id = 0 : le polynome minimal est X²-2X+1 soit (X-1)².



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