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Niveau Maths sup
Exos de dénombrement
Posté par Ykroxor
Bonjour, j'ai deux exercices de dénombrement à résoudre mais à vrai dire je n'y arrive pas alors si vous avez une petite idée de la façon d'aborder la chose.
1/Soit n un entier naturel non nul. Soit p dans [|1,n|] . Montrer que le nombre de p-uplets (a1,...,ap) d'entiers strictement positifs vérifiant a1+a2+...+ap=n vaut (p-1) parmi (n-1).
2/ Une variante:
Soit n un entier naturel non nul. Soit p dans [|1,n|] . Montrer que le nombre de p-uplets (a1,...,ap) d'entiers positifs vérifiant a1+a2+...+ap=n vaut (p-1) parmi (n+p-1).
Merci d'avance
Bonjour Ykroxor,
2) Ramenons ton problème à une répartitions de n boules dans p tiroirs en effet on peut se ramenr à ça en posant ai le nombre de boules dans le tiroir Ti.
Entre ces tiroirs il y a donc p-1 cloisons |.
On doit donc dénombrer le nombre de mots que l'on peut construire à l'aide de p-1 signe | et de n signes O.
On a façons de choisir la place des boules dans ce mot les cloisons étant automatiquement placé aux places restantes.
donc card{(a1,a1,...,a1) | a1+a2+...+ap=n}=
=
1) C'est le même problème qu'au 2) sauf que là on place une boule dans chaque tiroir et il nous reste donc à placer n-p boules à placer dans p tiroirs ce qui nous conduit à (en s'inspirant de ce qui est fait ci-dessus) :
card{(a1,a1,...,a1) | a1+a2+...+ap=n}=
=
=
Salut 
je ne comprends pas le lien avec
"On doit donc dénombrer le nombre de mots que l'on peut construire à l'aide de p-1 signe | et de n signes O."
Merci de m'éclaircir 
je ne sais pas si cela va t'aider cette petite illustration :
en fait a1 désigne le nombre de boule dans le tiroir 1, a2 le nombre de boules dans le tiroir 2,..., ap le nombre de boules dans le tiroir p.
et on doit donc placer n boules pour avoir a1+a2+...+ap=n dans p tiroirs...
Salut
La méthode exposée par Dad97 est super élégante.
Il en existe d'autres dont celle-ci qui est peut-être plus accessible (c'est une question de sensibilité).
1/
Considère la suite de terme général
.
Pour tout p-uplet solution, on a
La suite est strictement croissante et il existe une relation bi univoque entre le p-uplet
et le p-uplet
.
Il existe donc autant de p-uplets solutions que de suites
strictement croissantes de p° terme
.
Ce dernier ensemble est de cardinal qui correspond au nombre de façons de placer les termes
dans l'intervalle d'entiers
.
2/
On fait correspondre à la suite la suite
de termes cette fois entiers strictement positifs
.
On est ramené à la question 1/
Désolé pour les indices pour la question 2/
Il faut lire
On fait correspondre à la suite la suite
de termes cette fois entiers strictement positifs