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Exos méchants sur les suites 
Bonjour,
j'ai deux petits exo sur les suites qui me posent problème.
Le premier :
Un et Vn des suites de termes >0 et à partir d'un rang N0 pour tout n
N0 on a Un+1/Un
Vn+1/Vn
1) Montrer que si lim(n
+
) Vn = 0 alors lim(n+) Un = 0
Je ne sais pas vraiment quoi faire... Vn tend vers 0 daccord mais peut-on en déduire que Vn+1/Vn tend lui aussi vers 0 et qu'alors Un aussi je pense que directement non en tout cas. Mais je ne vois pas comment faire.
2) Même question mais avec Un+ et il faut montrer que Vn aussi.
Deuxième exo: (le genre d'exo que je n'aime vraiment pas...)
Soit 0<a<b et les suites Un et Vn définies par :
U0=a , V0=b , Un+1=(Un+Vn)/2 et Vn+1=rac(Un Vn) (rac = racine de)
Et il faut montrer que les suites Un et Vn convergent vers la même limite.
Voila toute aide est la bienvenue ^^ merci d'avance.
en utilisant le rang N0:
U(No+1)/U(N0)<V(No+1)/V(N0)
mais aussi au rang d'apres:
U(No+2)/U(N0+1)<V(No+2)/V(N0+1)
etc...
U(No+k)/U(N0+k-1)<V(No+k)/V(N0+k-1)
en multipliant toutes ces inegalités membre a membre:
U(No+k)/U(N0)<V(N0+k)/V(N0)
soit U(n0+k) < V(N0+k) U(N0)/V(N0)
j'appelle K la constante U(N0)/V(N0)
on a donc 0< U(n0+k) < K.V(N0+k) qui permet de conclure si k tends vers inf.
a desolé dans mon message ya eu un bug avec les signes d'inegalites.
en utilisant le rang N0:
U(No+1)/U(N0)V(No+1)/V(N0)
mais aussi au rang d'apres:
U(No+2)/U(N0+1)V(No+2)/V(N0+1)
etc...
U(No+k)/U(N0+k-1)V(No+k)/V(N0+k-1)
en multipliant toutes ces inegalités membre a membre:
U(No+k)/U(N0)V(N0+k)/V(N0)
soit U(n0+k) V(N0+k) U(N0)/V(N0)
j'appelle K la constante U(N0)/V(N0)
on a donc 0 U(n0+k) K.V(N0+k) qui permet de conclure si k tends vers inf.
et raisonnement inverse avec la meme inegalite si c'est Un qui tends vers +inf.
pour le 2 c'est de la recurrence a tout va.
l'une croit
l'autre decroit
la différence tendvs vers 0
les suites sont donc adjacentes.(meme limite)
]Ben je pense k ton prof cherche à démontrer que (Un) et (Vn)sont deux suites adjascentes. Alor fo k Un_<Vn puis L'une estcroissante lotre décroissante et lim(Un-Vn)=0 losk n ten ver linfifini.
N.B. Impossible de dire kune suite ten ver l un nombre réel dans ce cas Les Propriété dicte k:
Si la valeur absolu de Un-l_<Vn et Vn ten ver 0 alor Un ten ver l.
Si on a 3suites defini comme ceci suivant Wn_<Un_<Vn et limWn=limVn=l
alors limUn=l losk n ten ver no et n>_no
Si (Un_<Vn) limUn=+linfini alors LimVn=+linfini et reciprokmt c'est valable pour limVn=-linfini ça donne limU=-Linfini
Alors révise ton cours ds l'ennoncé on donne pa des infos sur Un et Vn à part la relation
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