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exos sur les ensembles, groupes niveau deug

Posté par sandrin (invité) 08-10-04 à 16:35

bonjour, je suis également bloqué sur ces 2 exos. merci de m'aider à y répondre ou à me donner des pistes de réflexion.

exo 1 sur les ensembles

a/ montrer que est dénombrable ?
je ne vois pas du tout comment il faut procéder pour montrer cela?

b/ montrer que ² est dénombrable en utilisant l'application g:² définie par g(n,p)= 2n(2p+1).

exo 2 sur les groupes

soit H une partie de
montrer que H est un sous groupe de (,+) ssi il existe un entier naturel n tel que H = n.

merci d'avance de votre aide.

ah, un dernier exo que je ne sais pas faire
exo 3 :
soit a et b deux sous groupe d'un groupe (G,.)
montrer que AB est un sous groupe deb G ssi ( A B ou B A.)

merci.

Posté par
muriel Correcteur
re : exos sur les ensembles, groupes niveau deug 08-10-04 à 16:59

re,
pour le a,
il faut que tu cherche une bijection qui envoie N dans Z
N->Z
n->\{\begin{array}{cccc}-(n+1)/2& & &n impair\\n/2& & &n pair\\\end{array}

pour le petit b, il faut que tu montre que l'application est bijective, ou au moins qu'elle est injective

exercice 2
le cas le moins difficile, montrer que nZ est un sous groupe.
je te laisse le rédiger.

le cas direct:
soit H un sous groupe de Z autre que {0}.
donc H n'est pas vide et il admet des éléments symétriques.
donc H \cap \mathbb{N}* différent  \empty
soit n le plus petit élément non nul de H \cap \mathbb{N}

on a nZ inclu dans H

soit h un élément de H.
en faisant la division euclidienne de h par n, il existe q et r tels que:
h=qn+r avec r entre 0 et n-1
comma H est un sous groupe r appartient à H.
n est le plus petit élément non nul de H, donc r=0
d'où h appartient à nZ, c'est à dire H inclu dans nZ
conclusion: H=nZ

pour la suite, ça vient tout à l'heure

Posté par
muriel Correcteur
re : exos sur les ensembles, groupes niveau deug 08-10-04 à 17:11

exercice 3:
le cas de droite à gauche n'a aucune difficulté, donc je te le laisse.
cas direct:
A \cup B est un groupe.
si A \subset B, alors on a fini
sinon, il existe un x dans A, n'appartenant pas à B
soit y appartenant à B.
donc X et y appartiennent à A \cup B
et par suite, xy appartient à A \cup B
c'est à dire:
xy appartient à A ou
xy appartient à B

comme y appartient à B, et que B est un groupe il existe un élément symétrique y^{-1} dans B
et donc (xy)y^{-1}=x appartient à B
ce qui est absurde
donc xy appartient à A
x appartient à A, donc x^{-1} aussi
et
x^{-1}(xy)=y appartient à A

conclusion: B est inclu dans A.
voilà



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