bonjour, je suis également bloqué sur ces 2 exos. merci de m'aider à y répondre ou à me donner des pistes de réflexion.
exo 1 sur les ensembles
a/ montrer que est dénombrable ?
je ne vois pas du tout comment il faut procéder pour montrer cela?
b/ montrer que ² est dénombrable en utilisant l'application g:² définie par g(n,p)= 2n(2p+1).
exo 2 sur les groupes
soit H une partie de
montrer que H est un sous groupe de (,+) ssi il existe un entier naturel n tel que H = n.
merci d'avance de votre aide.
ah, un dernier exo que je ne sais pas faire
exo 3 :
soit a et b deux sous groupe d'un groupe (G,.)
montrer que AB est un sous groupe deb G ssi ( A B ou B A.)
merci.
re,
pour le a,
il faut que tu cherche une bijection qui envoie N dans Z
N->Z
n->
pour le petit b, il faut que tu montre que l'application est bijective, ou au moins qu'elle est injective
exercice 2
le cas le moins difficile, montrer que nZ est un sous groupe.
je te laisse le rédiger.
le cas direct:
soit H un sous groupe de Z autre que {0}.
donc H n'est pas vide et il admet des éléments symétriques.
donc différent
soit n le plus petit élément non nul de
on a nZ inclu dans H
soit h un élément de H.
en faisant la division euclidienne de h par n, il existe q et r tels que:
h=qn+r avec r entre 0 et n-1
comma H est un sous groupe r appartient à H.
n est le plus petit élément non nul de H, donc r=0
d'où h appartient à nZ, c'est à dire H inclu dans nZ
conclusion: H=nZ
pour la suite, ça vient tout à l'heure
exercice 3:
le cas de droite à gauche n'a aucune difficulté, donc je te le laisse.
cas direct:
est un groupe.
si , alors on a fini
sinon, il existe un x dans A, n'appartenant pas à B
soit y appartenant à B.
donc X et y appartiennent à
et par suite, xy appartient à
c'est à dire:
xy appartient à A ou
xy appartient à B
comme y appartient à B, et que B est un groupe il existe un élément symétrique dans B
et donc (xy)y^{-1}=x appartient à B
ce qui est absurde
donc xy appartient à A
x appartient à A, donc aussi
et
(xy)=y appartient à A
conclusion: B est inclu dans A.
voilà
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