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exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy

Posté par
Myckael 02-11-14 à 18:16

Bonsoir à tous.
Voilà mon problème, la question est simple : Montrer que exp(x+y)=exp(x)*exp(y). À la question d'avant, on me demande de déterminer le produit de Cauchy de 2 suites, xn = xn/n! et yn = yn/n!
J'ai tenté de me dépatouiller avec les sommes, en vain. Pourrait-on me venir en aide ?

Posté par
verdurinre : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 18:26

Bonsoir,
il est, à mon avis, plus facile de commencer comme çà :

\Bigl(1+x+\frac12x^2+\frac16x^3+\cdots\Bigr)\Bigl(1+y+\frac12y^2+\frac16y^3+\cdots\Bigr)=\Bigl(1+(x+y)+\bigl(\frac12x^2+xy+\frac12y^2 \bigr)+\cdots\Bigr)

Posté par
Myckaelre : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 19:07

Tout d'abord, je me suis servi du fait que ex= xn/n!
Ensuite, j'ai exprimé ex+y à l'aide du binôme, avec le produit de cauchy : (x+y)n=n!'xn-k/(n-k)!)(yk/k!)
Et après, remplaçant dans mon expression, je n'arrive pas à aller au bout..
(Désolé pour les notations un peu foireuses, je viens d'arriver sur le forum, je ne maîtrise pas encore tout à fait ces notations ^^')

Posté par
gggg1234re : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 19:14

Les series somme (xn/n!) et somme des (yn/n!) converge

Donc la serie produit aussi

Elle vaut somme (wn)
Avec wn= somme (xp y(n-p) / p!(n-p)!


Ca te donne en sortant un n!

Wn= 1/n! Somme c(n,p)xp y(n-p)
Wn= 1/n! (X+y)n

D'ou la conclusion exp(x) exp(y)=exp(x+y)

Desole j'ai ete vite et n'est pas mis les indices en exposants mais tu les trouveras facilement

Posté par
gggg1234re : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 19:16

..  Car somme(wn) = somme (1/n! (X+y)n) = exp (x+y) par definition...

Posté par
gggg1234re : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 19:18

Pour comprendre cet exo, faut bien connaitre le terme general de la serie "produit" qui est lui meme une somme .

Posté par
Myckaelre : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 19:18

Citation :
Avec wn= somme (xp y(n-p) / p!(n-p)!


Ca te donne en sortant un n!

Wn= 1/n! Somme c(n,p)xp y(n-p)

Où est donc passé le (n-p)! ?

Posté par
gggg1234re : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 19:20

Bah dans le c(n,p)

Posté par
verdurinre : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 19:24

e^{x+y}=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}(x+y)^n=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{(n-k)!}\frac{y^k}{k!}

et tu as fini.

Posté par
Myckaelre : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 19:31

Justement j'arrive à ce résultat là, mais c'est ensuite pour bien mettre en évidence le fait qu'on ait exey que je ne comprends pas..

Posté par
verdurinre : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 20:16

C'est ce que j'avais commencé dans mon premier message.

Dans
\left(\sum_{m=0}^\infty \frac{x^m}{m!}\right)\left(\sum_{l=0}^\infty \frac{x^m}{l!}\right)

on regroupe ( produit de Cauchy ) les termes de degré total égal à n.

On arrive à \sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{(n-k)!}\frac{y^k}{k!}

Or
\sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{(n-k)!}\frac{y^k}{k!}=\frac1{n!}\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}x^{n-k}y^k=\frac1{n!}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k=\frac1{n!}(x+y)^n

Posté par
verdurinre : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 20:17

Correction
\left(\sum_{m=0}^\infty \frac{x^m}{m!}\right)\left(\sum_{l=0}^\infty \frac{x^l}{l!}\right)

Posté par
gggg1234re : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 20:34

Attention dans les manipulation a bien utiliser des serirs qui convergent.

Posté par
verdurinre : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 20:38

@gggg1234
Il est notoire que l'exponentielle est développable en série entière avec un rayon de convergence infini.

Posté par
gggg1234re : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 20:47

Pour toi oui.
Pour mickeal je prefere preciser surtout qu'il est vite fait qd on manpule des sommes de maniere purement calculatoures de faire apparaitre des sommes qui ne convergent pas.

Posté par
verdurinre : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 02-11-14 à 21:44

@gggg1234.
Il est tout à fait possible de manipuler les séries de façon formelle, c'est à dire sans notion de convergence.

Sinon, et j'ai un peu honte de le dire, compte tenu du fait que la mienne est déplorable, tu pourrais soigner un peu plus l'orthographe.

Il y a des modules de correction automatiques.

Posté par
gggg1234re : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 03-11-14 à 15:44

somme ( (-1)^n ) de 0 à +inf
+
somme ( (-1)^(n+1) ) de 0 à + inf
=
somme ( 0 )
=0

comme çà?
je dis qu'il faut faire attention à ne pas faire apparaitre des sommes non convergentes, et l'approches purement calculatoire pour un débutant  le permet.

Désolé pour les fautes, j'écris depuis un minitel.

G.

Posté par
gggg1234re : exp(x+y)=exp(x)*exp(y) avec produit de Cauchy 03-11-14 à 15:46

ou alors il faut le faire sans "passer à la limite"

et donc garedr une expression somme (0 à N)

Le passage à +inf uinduit l'existence de la limite, ce qui est à étudier au cas par cas


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