Je dirais factorielle mais bon y'a-t-il un moyen de le démontrer autre que de calculer quelques valeurs...

Bonjour,
ce n'est pas dans ton cours de sup?
C'est la factorielle qui croit plus vite.
Tu verras probablement ça plus en profondeur avec la fonction gamma l'an prochain.
A+

Salut
calculer quelques valeurs ne sert pas à grand chose cla ne prouve pas un résultat ou peu deviner mais pas prouver come cela
Cependant il suffit de voir que

Ainsi
Reste à montrer que cette suite tend vers l'infini ce qui n'est pas trop dur.

Non il ne me semble pas avoir vu ça dans mon cours...

Merci pour vos réponses

La formule de Stirling donne une réponse complète à cette question.
Même sans connaitre cette formule, on peut voir facilement comment croissent chacune des fonctions n! et exp(n), en observant la différence entre deux termes successifs:
(n+1)!-n! = (n+1)n!-n! = (n+1-1)n! = n(n!)
exp(n+1)-exp(n) = e*exp(n)-exp(n) = (e-1)exp(n)
Chaque fois que l'on passe de n à (n+1), on voit que l'accroissement de n! est égal à n fois la valeur de la fonction, ce qui est plus grand que (e-1) fois la valeur de la fonction dans le cas de l'exponentielle.
Donc n! croit plus vite que exp(n).

Salut JJA, j'ai un peu du mal a voir comment tu utilises la formules de Stirling pour montrer ce résultat
En effet si je en me trompes pas on a avec ce qui ne semble pas trop nous aider à résoudre le problème enfin je me trompe peut etre.

Salut titimarion,
si tu divises des deux cotés par exp(n) tu trouves sauf erreur:

Il reste à comparer n^n et exp(2n) ce qui n'est pas tellement compliqué. (sauf si je me suis trompé, c'est ce qu'il faut comparer)

Notamment, on a meme pas besoin de montrer que le rapport tend vers l'infini, on a juste à montrer qu'il ne tendra pas vers 0 à cause du facteur racine de n, ca c'est évident car exp(2)<n pour n suffisament grand (n=9 convient) et donc pour n>9 le rapport est supérieur à 1, et on a le résultat souhaité.

Celà étant c'est vrai que je ne vois pas de méthode directement applicable à partir de la formule de Stirling non plus, je pense que ta méthode titmarion, était de loin la plus directe.

Celà étant, sauf erreur de calcul, c'est une méthode qui marche bien aussi

Mercfi otto,
j'avais aussi pensé comme toi a diviser par exp(n) mais je ne voyais pas tellement l'intéret de cette méthode comparait aux autres.
Car ici ca revient a comparer n a exp(2) au lieu de comparer n à exp(1)
en fait ma remarque venait plutot du fait que je pense que JJa avait fait une erreur sur sa formule de Stirling mais peut être me trompais-je et pensai t'il à la même méthode que toi.

Dans mon message précédent, je n'ai pas utilisé la formule de Stirling.
Voilà ce que je proposais (et qui n'utilise pas Stirling):
On peut voir facilement comment croissent chacune des fonctions n! et exp(n), en observant la différence entre deux termes successifs:
(n+1)!-n! = (n+1)n!-n! = (n+1-1)n! = n(n!)
exp(n+1)-exp(n) = e*exp(n)-exp(n) = (e-1)exp(n)
Chaque fois que l'on passe de n à (n+1), on voit que l'accroissement de n! est égal à n fois la valeur de la fonction, ce qui est plus grand que (e-1) fois la valeur de la fonction dans le cas de l'exponentielle. Donc n! croit plus vite que exp(n).
.
Je signalais simplement qu'on aurait pu utiliser la formule de Stirling. Un peu comme le dit otto, il suffit de voir, dans cette formule, que pour n>e² on a (n/e)^n > (e²/e)^n = exp(n) et la formule donne à fortiori n! >> exp(n).

en effet la formule de stirling donnant un equivalent de   en +  permet de donner une reponse a ce probleme
une autre facon a l'aide du lemme de d'alembert

soit la suite telle que :
n  un=


ce rapport tend vers 0 en +

donc d'apres le lemme de d'alembert la suite (un) tend vers o en + car 0<1

donc  le suite () est negligeable devant la suite (n!) en +

i.e

<< n!  en +