Niveau autre

expansion binomiale

Posté par
Justin 20-11-06 à 13:25

Bonjour,

Je voudrais avoir les quatre premiers termes de l'expansion binomiale de ${\left(1-\frac{1}{50}\right)}^{\frac{1}{2}}$ . J'ai réussi à trouver une formule qui semblerait généraliser l'expansion binomiale pour des puissances de nombres rationnels mais ensuite comment faire pour $n\choose k$ avec des nombres rationnels.

Merci!

Posté par re : expansion binomiale 20-11-06 à 13:32

Pour n entier :

$3${n \choose k} = \frac{n(n-1)(n-2)\ldots 2}{k!}$

On généralise ceci pour alpha réel :

$3${\alpha \choose k} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\ldots 2}{k!}$

(parfois appelé "coefficient binomial généralisé)

Posté par re : expansion binomiale 20-11-06 à 13:33

Mince j'ai écrit des bêtises, il faut lire :

$3${n%20\choose%20k}%20=%20\frac{n(n-1)(n-2)\ldots (n-k+1)}{k!}$

et

$3${\alpha%20\choose%20k}%20=%20\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\ldots (\alpha-k+1)}{k!} \\$

Posté par re : expansion binomiale 21-11-06 à 11:20

Merci stokastik,

Cependant, lorsque que je fais cela, j'obtiens des (-1/50)^(1/2) ce qui est un nombre complexe... En effet, mon premier terme serait ${\frac{1}{2}}\choose0$ $\left(\frac{-1}{50}\right)^{\frac{1}{2}}$ .

A bientôt.

Posté par re : expansion binomiale 21-11-06 à 16:38

Bonjour
Le début de l'expansion est
$(1+x)^\alpha=1+\alpha x +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!} x^k +\cdots$
les puissances de x sont toujours des entiers.

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