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Niveau Licence Maths 1e ann
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explication équation différentielle

Posté par
lolotte34
06-04-10 à 00:20

Bonjour,
je découvre les équations différentielles (en cours par correspondance, du coup, pas d'explication très approfondie) et je n'ai pas bien assimilé ni le sens ni la méthode pour résoudre les équations différentielles...
Je dois notamment résoudre celle-ci:
x appartient à )0;+l'infini(
(E1) xy'-y=1-lnx
j'ai pu trouver la réponse dans un autre "topic" cependant j'aimerais surtout comprendre... Que dois-je chercher, comment dois-je procéder?
Merci de me donner du sens! meme si je sais qu'a l'ecrit ce n'est pas simple, surtout en différé...

Posté par
Weensie
re : explication équation différentielle 06-04-10 à 02:47

Salut!
Les équations différentielles font certainement partie des objets les plus difficilement manipulables en mathématiques, dans la mesure où il n'existe en général, pas de méthode "absolue" pour les résoudre, seulement des théorèmes assurant l'existence et l'unicité des solutions, et des modèles assez classiques.
Il est alors parfaitement normal, pour quiconque d'ailleurs, d'avoir des difficultés à en cerner les subtilités.

Peut-être quelques rappels s'imposent.

D'abord, qu'appelle t-on équation différentielle ?

Il s'agit d'une équation mettant en relation des fonctions et leurs dérivées.
Sa forme générale (pour une ED d'ordre n c'est à dire mettant en relation une fonction et ses k-dérivées, k parcourant l'ensemble [|0,n|]) est du type

g(t,y,...,y^(n))=0

Ici, une telle fonction g est la suivante : g(x,y,y')= xy'-y -(1-ln x).

Une méthode assez commode et fort usitée consiste à résoudre tout d'abord une ED dite homogène, c'est à dire sans second membre, dans notre cas il s'agit de l'équation : xy'-y=0.
On ne sait pas résoudre ça. Il faut d'abord la normaliser (le terme devant y' doit-être égal à 1, donc on divise par x. ) Attention, dans le cas général, diviser par x implique d'étudier les solutions en 0(appelées singularités), car la division par x n'est pas définie en 0.

Dans notre cas, c'est facile, on à pas à s'en soucier car on travaille sur l'ouvert des réels positifs non-nuls.
On obtient l'ED normalisée : y'-1/x y= 0
On a donc y'/y=1/x , et on intègre.
On obtient des solutions linéaires du type y=Kx , avec K dans R.

On a donc trouvé une solution GENERALE de l'équation

Maintenant, on ajoute le terme 1-ln x et on procède à ce que l'on appelle la méthode de variation de la constante (plaisant oxymore dû à Laplace).

Pourquoi ?
Car on cherche maintenant une solution PARTICULIERE

(Ah! J'ai oublié de te dire : La solution "intégrale" d'une équation différentielle se décompose comme la somme de la solution générale et de la solution particulière. Comme tu verras dans ton cours, l'ensemble des solutions d'une équation différentielle est un espace vectoriel , par la somme directe de l'espace engendré par les solutions particulières et celui engendré par les solutions générales (il s'agit du principe de superposition des solutions)).

Revenons en à la variation des constantes.
Laplace dit que pour l'équation avec second membre, plus restrictive, la solution générale fonctionne à condition de trouver les constantes adéquates. En effet, on ne saurait se contenter de R tout entier.

Donc on écrit y=K(x) x et on "réinjecte" dans l'équation.

On obtient y'= K'(x)x+K(x) et donc y'+1/x y devient x K'(x)=1-ln x <=> K'(x)=1-ln x / x.
Reste plus qu'à intégrer et on a K(x)=\int 1/x (1-ln x)= -(ln(x)-1)²/2.
On remplace et on obtient la solution particulière y(x)=-x/2(ln(x)-1)² (Si le logiciel ne m'a pas trompé).
Donc l'ensemble des solutions S = {Sol. générale + Sol. Part.} := {Kx -x/2 (ln (x)-1)² , k décrivant R }

Evidemment, il existe plein d'autre moyens de déterminer une solution particulière, par exemple la méthode du coup d'oeil (qui impressionne) qui te permet de savoir si telle ou telle fonction marche ).


Maintenant, je voudrais te parler du  cas très fréquent où tu as affaire à des conditions initiales du type y(Xo)=To.
Le théorème TRES puissant dit de Cauchy-Lipschitz-Picard-Lindelöf (familièrement Cauchy-Lipschitz chez les habitués francophones) te permet non seulement d'affirmer que ton équation possède une solution, mais qu'elle est unique , que son intervalle de définition est ouvert, et que toute solution est restriction de cette dernière dite "maximale".
(Si l'on veut une interprétation, un système physique soumis à des conditions d'origine typiquement de température ou de vitesse ou autres, évolue de manière unique et déterminée...) Ca en aura rassuré plus d'un...
(Ce qui ne veut toutefois pas dire que l'on peut à long terme déterminer simplement l'évolution d'un système physique, c'est rarement le cas , tant ils ont tendance à être sensibles aux conditions initiales et à évoluer vers le chaos).

Finalement les équations différentielles, c'est pas si méchant et c'est vraiment intéressant.
En espérant que cela t'aura aidé à comprendre,
n'hésite pas à en redemander
A +
Weensie

Posté par
lolotte34
re : explication équation différentielle 06-04-10 à 23:32

Bonjour Weensie,
je ne sais pas comment te dire merci pour tout ça! et comme tu m'as dit d'en redemander, j'en use et abuse!
Peux tu encore m'éclairer sur certaines interrogations?
Juste pour confirmation, donc si j'ai bien compris, la première chose à faire est de résoudre seulement le premier membre, ensuite de normaliser en isolant y', de trouver y, ensuite on reprend le second membre?
Ensuite, peux tu développer lorsque tu intègres l'ED homogène?
Il va me falloir un petit moment pour digérer tout ca mais tu m'as bien aidé!
Encore merci!

Posté par
Weensie
re : explication équation différentielle 06-04-10 à 23:43

Salut!
Content d'avoir pu t'aider.
Puisque que tu en redemandes, je n'ai plus qu'à donner...!

Voilà, tu as compris le système.
Je répète, quand tu normalises, il faudra faire attention aux singularités.
Quand j'ai intégré l'ED homogène (second membre nul), j'ai simplement isolé y'/y et j'obtenais y'/y=1/x.
y'(x)/y(x) est la dérivée bien connue de ln |y(x)|+C et 1/x+C' est la dérivée bien connue de ln|x|, où C et C' représentent des fonctions quelconques. (c'est malheureusement pas toujours si facile).
Donc j'ai ln |y(x)|+C-C'=ln |x|, je remplace C-C' par une constante D, j'obtiens ln|y(x)|+D=ln|x|, je passe à l'exponentielle (je peux virer la valeur absolue et j'ai : exp(ln(y(x))+D)=exp(ln(x))
Ce qui équivaut à exp(D)exp(ln|y(x)|)=x (l'exponentielle est un morphisme de (R,+)dans(R,*)). Or exp(D) est une constante que je note K' et j'obtiens K'y(x)=x. Enfin en notant K=1/K' j'ai y(x)=Kx.
Voilà!
En espérant que cela t'aide,
A+
Weensie

Posté par
lolotte34
re : explication équation différentielle 10-04-10 à 19:32

bonjour Weensie!
je crois que j'ai compris tout ce que tu as écrit!
C'est vraiment extrêmement gentil d'avoir pris tout ce temps pour m'expliquer!
Je me remet dans mon devoir!
Merci mille fois.
A +

Posté par
Weensie
re : explication équation différentielle 10-04-10 à 19:43

Le plaisir était mien

Bonne continuation dans le monde des équations différentielles

Posté par
lolotte34
re : explication équation différentielle 11-04-10 à 18:18

Salut Weensie!
en fait, j'ai encore besoin de tes lumières!
A la fin de la résolution de l'équation homogène, on obtient y(x)=kx avec k constante ou y(x)=k(x).x? en fait moi, j'avais compris que k était une constante et du coup pour calculer y', ce n'est plus la même chose...
peux tu me confirmer l'un ou l'autre?
Par avance merci!

Posté par
Weensie
re : explication équation différentielle 11-04-10 à 18:22

C'est kx avec k constante.
La méthode de variation des constantes consiste justement à ne plus considéré k constant.

Posté par
lolotte34
re : explication équation différentielle 11-04-10 à 19:17

forcément... donc je me remets dedans en partant de là!
si tu es dans le coin, j'en profite encore...
Je dois, en utilisant le changement de variable t=e^x, montrer que ∫ e^x/(1+e^(2x))dx = ∫ dt/(1+t^2)
je n'ai pas de problème pour faire le changement de variable mais je ne comprends pas que devient le dx et pourquoi le dt passe là où il est... Moi j'arriverais à :
∫ t/(1+t^2)dt
Peux tu me dire pourquoi?

Posté par
Weensie
re : explication équation différentielle 11-04-10 à 20:14

Le dx (l'élément différentiel) ne compte pas pour du beurre.
Si tu intègres par petits carrés, ce n'est pas la même chose que si tu intégrais par petits cercles, je pense que tu l'as compris. Donc quand tu effectues le changement de variable, il faut le prendre en compte.
Voici comment:

Tu poses t=e^x.
Donc dt/dx = e^x.
dx=dt/e^x=dt/t.

Ainsi e^x/(1+e^(2x))dx devient t/t(1+t²)=1/1+t².

Voilà

A ton service
Weensie

Posté par
Weensie
re : explication équation différentielle 11-04-10 à 20:15

Je rectifie: "Ainsi e^x/(1+e^(2x))dx devient dt t/t(1+t²)=dt/1+t²."

Pardonne l'imprécision !

Posté par
Weensie
re : explication équation différentielle 11-04-10 à 20:21

Et la primitive faut arctan(t)=arctan(e^x).
Attention: quand tu integres sur des bornes, si tu effectues un changement de variable, n'oublie surtout pas de modifier tes bornes.
Si tu as int[u du]a à b et que tu poses u=v,
tes bornes deviennent v(a), v(b).

Posté par
lolotte34
re : explication équation différentielle 13-04-10 à 23:33

Coucou Weensie,
je repars sur la resolution de mon ED...
Peux tu me dire si je suis bien:
donc on a y=k(x)x
et donc y'=k'(x)x+k(x)
ce qui donne:
k'(x)x+k(x)=1/x(k(x)x)
k'(x)x+k(x)=k(x)
k'(x)x=1-lnx
k'(x)=(1-lnx)/x
k(x)=∫(1-lnx)/x
= lnx-((lnx)^2)/2
donc y=x[lnx-(lnx^2/2)]?
merci de me confirmer...
A +

Posté par
Weensie
re : explication équation différentielle 14-04-10 à 01:43

Coucou lolotte,
Si j'ai bien compris tu magouillais  sur l'équation homogène jusqu'à la deuxième ligne et tu as introduit le terme de l'équation générale (1-ln x) à la troisième ligne ?

Et ta solution est pareille que la mienne à 1 constante près (elle s'annule en dérivant).
Ca m'a l'air très bien Je te félicite et t'encourage.

A+
Weensie

Posté par
lolotte34
re : explication équation différentielle 14-04-10 à 22:13

merci pour tes encouragements! j'en ai bien besoin! Je suis juste au début de mon devoir, je dois le rendre dans quelques jours et je n'ai que peu de temps le soir en rentrant du boulot pour avancer!
Mais bon, grâce a toi je me "dépatouille"
Donc pour revenir à ce que tu me disais au dessus, j'ai en effet intégré le second membre à la troisième ligne... par contre, il faut donc, à la 6° ligne que je rajoute la constante? pourquoi me dis tu qu'elle s'annule en dérivant? je ne dérive plus après...
Donc la solution de mon équation (E1) xy'-y=1-lnx avec x appartient à )0;+l'infini( est:
y=x[lnx-(lnx^2/2)]+C
C'est ca?

Posté par
lolotte34
re : explication équation différentielle 14-04-10 à 22:42

Bon, j'attaque ma question suivante...
Toujours besoin de méthode...
On me demande de montrer qu'une fonction y2(x) est la solution de E1 vérifiant y2(1)
J'ai mes 2 fonctions mais peux tu me dire la méthode à suivre?
Par avance merci encore!

Posté par
Weensie
re : explication équation différentielle 15-04-10 à 00:11

Oui la solution de l'équation E1 est exacte.
La solution générale de l'équation c'est celle ci + la solution de l'homogène c'est à dire Kx.

J'ai pas compris ta question.
Elle vérifie quoi ? Qu'est-ce que y2(1) ?
tu veux peut-être dire y2(1)=a avec a réel ?

Posté par
Weensie
re : explication équation différentielle 15-04-10 à 00:12

peut-être pourrais tu m'envoyer ton devoir par e-mail?

Posté par
lolotte34
re : explication équation différentielle 15-04-10 à 19:14

Salut Weensie,
en fait je ne t'ai pas donné les équations elles-même car je voulais vraiment la méthode car à l'exam tu ne seras pas avec moi pour le faire Mais c'est clair que sans exemple concret il est très dur d'expliquer quelque chose!
J'aimerais bien t'envoyer mon devoir (même si j'ai peur d'abuser de ta gentillesse!) mais je n'ai pas ton mail...
Sinon, en attendant voici ma question:
Montrez que y2(x)= ln x - (ln2 / 2) x est la solution de E1 vérifiant y2(1) = -ln2 / 2
Voilà...
Merci encore de ton aide!

Posté par
Weensie
re : explication équation différentielle 15-04-10 à 19:37

mon mail est sur mon profil.

Posté par
Weensie
re : explication équation différentielle 15-04-10 à 19:41

C'est simple: tu vérifies que y2(1) = -ln2 / 2 en remplaçant x par 1 (je pense que ça devrait aller).
Ensuite, tu vérifies qu'elle est solution de l'équation donc tu remplaces y dans l'équation par y2(x)= ln x - (ln2 / 2) x et tu vérifies que ça marche.

Posté par
Weensie
re : explication équation différentielle 16-04-10 à 22:35

as tu reçu le pdf ?

Posté par
lolotte34
re : explication équation différentielle 16-04-10 à 23:49

Bonsoir Weensie!
oui j'ai bien recu mais pas encore eu le temps de regarder... Je vais au dodo et je me remets dedans demain! Merci pour ton accompagnement, ta rapidité et ta persévérance!!
Je t'en dis plus demain!
Bonne nuit!
L



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