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explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert

Posté par
robby3 14-02-08 à 16:22

Bonjour tout le monde,
Que d'interrogation dans mes lectures du cours et des exercices sur les espaces de Hilbert!

Pouvez-vous me montrer pourquoi:
1)H=L_C^2(T) le C-Hilbert des classes de fonctions mesurables de R dans C,2\pi_periodiques d'énergie finie sur [0,2\pi] (déjà le nom fait peur) équipé du produit scalaire:

<f,g>=\frac{1}{2\pi}\Bigint_0^{2\pi} f(\theta).\overline{g(\theta)}d\theta.

cad les classes (e_n)_{n\in Z} des fonctions e_n(\theta)=exp(in\theta)=cos(n\theta)+sin(n\theta).

Pourquoi ça forment un systeme orthonormée dans H??

Je me pose la meme question avec \rm L_C^2([-1,1]),\omega(t)dt) ou \\ \omega(t)=\frac{1}{\sqrt(1-t^2)} \forall t\in]-1,1[

ou l'on a\Bigint_{-1}^1 \frac{|f(t)|^2}{\sqrt(1-t^2)} dt<\infty
avec le produit scalaire
<f,g>=\Bigint_{-1}^{1}f(t)\overline{g(t)}.\frac{dt}{\sqrt(1-t^2)}

avec les classes de fonctions
\Theta_0(t)=\frac{1}{\sqrt(\pi)} \\ \Theta_n(t)=\sqrt(\frac{2}{\pi}).cos(n.arcos(t)) , n\ge 1.
(je rappelle ma question,pourquoi c'est une systeme orthonormé?)

Posté par
Camélia Correcteurre : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 16:28

Bonjour robby3
En principe je ne me mêle pas trop d'intégration. mais quand même, c'est facile de calculer < en,em > en distinguant selon que n est égal ou non à m.

Posté par
robby3re : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 16:33

salut
ok pour le premier,je m'attele au 2eme

Posté par
robby3re : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 16:44

j'ai un peu de mal  au 2)

j'ai fait:
<\Theta_n(t),\Theta_m(t)>=\frac{2}{\pi}\Bigint_{-1}^1cos(n.arcos(t)).cos(m.arcos(t))\frac{dt}{\sqrt(1-t^2)}
je pose t=cos u
j'obtiens sauf erreur:

=\frac{2}{\pi}.\Bigint_{-1}^{1} cos(nu).cos(mu).\frac{du}{\sqrt(1-u^2)}
aprés je passe à l'exponentielle non?

Posté par
Camélia Correcteurre : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 16:46

Si tu poses u=arcos(t) que valent du et (1-t2)? et les bornes d'intégration?

Posté par
robby3re : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 16:51

oh là oui

u=arcos(t) \\ du=\frac{1}{\sqrt(1-t^2)} sauf erreur.

\rm \sqrt(1-t^2)=\sqrt(sin u ^2) ??
les bornes vont alors de -\pi à 0 non?

Posté par
Camélia Correcteurre : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 16:56

C'est mieux. Alors, que vaut l'intégrale?

Posté par
robby3re : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 17:05

euhh j'obtiens la meme chose que dans mon post de 16:44
sauf que je vois pas ce que je fais de ce truc là:

\sqrt(1-t^2)=\sqrt(sin(u)^2)?

Posté par
fusionfroidere : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 17:10

Salut robby >> c'est quand ton DS ?

Posté par
robby3re : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 17:14

Salut Fusion:


pourquoi toutes ces questions

lundi 18=cryptologie/probabilité/géométrie différentielle
mardi 19=espace de hilbert/géométrie affine

(ils sont tellement affreux qu'ils nous l'ont dit la semaine derniere )
bref 5 matiere à potasser en 1semaine

Posté par
fusionfroidere : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 17:15

AH ué quand même ! Bon courage alors !

Pourquoi toutes ces questions ? Je ne sais pas

Posté par
Camélia Correcteurre : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 17:15

Puisque du=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2} l'intégrale devient

\Large \frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^0\cos(nu)\cos(mu)\,du
et ça c'est sympa!

Posté par
robby3re : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 17:19

oui c'est ce que j'avais mais moi je trouve pas ça sympa du tout!

je passe alors par les formes exponenetielles?

(Fusion,j'ai une question à mon tour
pour valider votre licence,quel est le systeme de compensation des semestres que vous avez (sur les 3 ans) )

Posté par
fusionfroidere : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 17:21

Prrrrrrrr !

Franchement je n'en ai aucune idée !

Je sais que si t'as 9 au premier semestre et 12 au second à peu près, alors tu as ta licence par compensation ^^

Posté par
robby3re : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 17:26

ok ok

Posté par
robby3re : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 14-02-08 à 17:36

si je passe par l'exponentielle je ne trouve pas 0...
j'obtiens \frac{2}{i\pi (n+m)}

cos(nu)=\frac{e^{inu}+e^{-inu}}{2}
de meme pour cos(mu)
j'obtiens

\frac{1}{2\pi}\Bigint_{-\pi}^0 e^{iu(n+m)}+e^{iu(n-m)}+e^{iu(m-n)}+e^{iu(m+n)} du

Posté par
Camélia Correcteurre : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 15-02-08 à 14:24

... et tu as déjà calculé tout ça selon que m=n.

Tu aurais pu aussi utiliser des formules de trigo qui transforment produit en somme...

Posté par
robby3re : explications systemes orthonormés d'espace de Hilbert 15-02-08 à 18:53

okk!!
Merci Camélia!


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