Niveau autre

exponentielle d'endomorphisme

Posté par
jardiland 15-01-07 à 19:21

Bonsoir à tous,je ne parviens pas à montrer que la fonction:
$t\in\mathbb{R}:->exp(ts)$ où s est un endomorphisme de l'espace euclidien E est continue de R vers L(E).
Quelqu'un aurait-il une idée?
Merci

Posté par re : exponentielle d'endomorphisme 15-01-07 à 20:07

Bonsoir jardiland

Commence par écrire la définition de l'exponentielle d'un endomorphisme u d'une espace vectoriel de dimension finie E.
Pour prouver la continuité de ton application, il va falloir passer par les séries de fonctions.

Kaiser

Posté par Re : exponentielle d'endomorphisme. 15-01-07 à 20:35

Bonsoir jardiland ;
Je suppose seulement que $E$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ (pas nécessairement euclidien) et soit $||\hspace{5}||$ une norme multiplicative sur $\scr L(E)$ c'est à dire vérifiant (en plus des trois propriétés d'une norme) l'inégalité $||uov||\le||u||.||v||$ pour tous endomorphismes $u$ et $v$ de $E$ .
Pour $u\in\scr L(E)$ l'exponentielle de $u$ est défini par $\fbox{e^u=\Bigsum_{k=0}^{+\infty}\frac{u^k}{k!}}$ (remarquer que cette série est absolument convergente dans $\scr L(E)$ qui est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie $n^2$ donc convergente et l'endomorphisme $e^u$ est ainsi bien défini).
Pour $s\in\scr L(E)$ je vais montrer que l'application $\fbox{f{:}\mathbb{R}\to\scr L(E)\\t\to e^{ts}}$ est lipschitzienne sur tout intervalle $[-a,a]$ (où $a$ est un réel positif arbitraire) ce qui donnera le résultat souhaité. Allons y :
pour $t,h\in[-a,a]$ on a $\fbox{f(t)-f(h)=\Bigsum_{k=1}^{+\infty}\frac{(t^k-h^k)s^k}{k!}}$ donc $\fbox{||f(t)-f(h)||\le\Bigsum_{k=1}^{+\infty}\frac{|t^k-h^k|.||s||^k}{k!}}$
le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction $x\to x^k$ sur $[-a,a]$ donne $|t^k-h^k|\le k|t-h|a^{k-1}$ d'où
$\fbox{||f(t)-f(h)||\le\Bigsum_{k=1}^{+\infty}\frac{k|t-h|.a^{k-1}.||s||^k}{k!}=(||s||.e^{a.||s||}).|t-h|}$ (sauf erreur bien entendu)

Posté par Re : exponentielle d'endomorphisme. 16-01-07 à 17:42

Slt elhor!
Merci pour ton aide j'avais pensé utiliser les résultats sur les séries de fonctions à valeur réelles ou complexes(la limite uniforme d'une suite de fonctions à valeurs scalaires continues sur un intervalle I est continue sur I)étendues aux suites de fonctions vectorielles où le pendant de la norme infinie utilisée dans le cas scalaire serait ,pour une application u à valeurs dans un espace vectoriel normé E, la borne sup des normes (de E) de l'ensemble des u(x) lorsque x décrit E.
Cela à l'air de marcher(qu'en penses-tu?)
Toutefois ta démarche me parait bien plus aisée à mettre et je n'y vois rien à ajouter,donc merci encore!

Posté par Re : exponentielle d'endomorphisme. 16-01-07 à 17:45

Citation :
[...] Toutefois ta démarche me parait bien plus aisée à mettre en place et [...]

.
Bonne soirée

Posté par Re : exponentielle d'endomorphisme. 16-01-07 à 21:51

Merci jardiland ;
Je n'ai pas mentionné la norme multiplicative utilisée sur $\scr L(E)$ parce qu'il y'en a en fait une infinité mais qui sont toutes de telle sorte que lorsqu'une application est continue pour l'une d'elles elle l'est automatiquement pour toutes les autres.
En fin rappelle toi une règle d'or ===on ne fait appel à un gros théorème que losque c'est nécessaire===

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