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Exponentielle de matrice

Posté par
Scaramouche 22-05-12 à 17:39

Bonjour,

J'ai donc la matrice A

1 0 0
0 0 -1
0 1 2

Et la décomposition de Dunford suivante

D =

1 0 0
0 1 0
0 0 1

et N =

0 0 0
0 -1 -1
0 -1 -1

On me demande de calculer Exp(AT)  (T)

Mon cours ne donne aucun exemple et tout ce que je trouve c'est

Exp(AT) = Exp(T(D+N)) = Exp(TD)*Exp(TN)

Ensuite j'ai cru comprendre qu'il faut utiliser le développement en série de l'exponentielle, mais je n'ai pas compris comment utilisé les propriété de la décomposition pour simplifié le calcul (notamment la nilpotence de N)

Posté par
GaBuZoMeure : Exponentielle de matrice 22-05-12 à 17:51

\exp(tD)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} t^n D^n
Facile, avec ta matrice D !

\exp(tN)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} t^n N^n
Vu la nilpotence, la somme infinie se raccourcit pas mal...

Posté par
DHilbertre : Exponentielle de matrice 22-05-12 à 17:55

Il y a une erreur avec ta matrice N, car celle que tu proposes n'est pas nilpotente.

A +

Posté par
athrunre : Exponentielle de matrice 22-05-12 à 17:58

Si D=I_3 et N=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}
alors N^2=0 et N est nilpotente. D est clairement diagonalisable.

On a de plus ND=DN donc par unicité de la décomposition de Dunford c'est bon.

On a :

\exp(tA)=\exp(t(D+N))=\exp(tD)\exp(tN) par commutativité de D et N.

Comme N^2=0 on a \exp(tN)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{t^n}{n!}N^n=I_3+tN.

\exp(tD)=\exp(tI_3)=e^tI_3.

Posté par
athrunre : Exponentielle de matrice 22-05-12 à 17:59

oui avec ta matrice N on a déjà pas A=D+N ... celle que j'ai mise convient

Posté par
Scaramouchere : Exponentielle de matrice 22-05-12 à 18:46

Merci pour votre aide.

Mais du coup comment j'écris le résultat final ?

Et sinon pour le coup il s'agit un peu d'un cas particulier dans la mesure ou D est égale a l'identité, Si D avait été composé de deux projecteurs spectraux, aurait-je du décomposé D pour mon calcul ?

Posté par
athrunre : Exponentielle de matrice 22-05-12 à 19:26

si D=P^{-1}\text{diag}(\lambda_1,\hdots,\lambda_n)P alors \exp D=P^{-1}\text{diag}(e^{\lambda_1},\hdots,e^{\lambda_n})P

Posté par
Scaramouchere : Exponentielle de matrice 22-05-12 à 20:57

Cela ne me pose pas de problème mais si j'ai exp(TD) et exp (TN) comme tu le dit.

J'ai donc:

exp(TD)*Exp(TN) = I*Exp(T)*(I+TN)

Mais je ne vois pas comment réécrire ça sous forme de matrice ?

Posté par
GaBuZoMeure : Exponentielle de matrice 22-05-12 à 23:51

t est un nombre réel, N une matrice que tu connais, et tu ne sais pas écrire e^t\,I\,(I+t\,N) sous forme de matrice ???

Posté par
Scaramouchere : Exponentielle de matrice 23-05-12 à 00:29


Je l'écrirais

exp(t)     0             0
0     exp(t)(1-t)     -texp(t)
0     texp(t)          exp(t)(1+t)  

Mais si quelqu'un peux me confirmer car je ne suis sur de rien.

Posté par
GaBuZoMeure : Exponentielle de matrice 23-05-12 à 09:49

Comme disait le président Mao : compter sur ses propres forces. Pour progresser, tu dois comprendre ce calcul par toi-même.
Si tu as vu un peu de systèmes différentiels linéaires, tu peux vérifier \exp(0\,A)=I et \dfrac{d}{dt}\,\exp(tA)=A\,\exp(tA).

Posté par
Scaramouchere : Exponentielle de matrice 23-05-12 à 22:34

Je ne vais pas vous supplier mais cela m'aiderais vraiment si je pouvais obtenir une explication clair pour comprendre une bonne fois pour toute comment réaliser ce type de calcul.

PS:

Mao a aussi conduit des millions de gens a la famine.

Posté par
GaBuZoMeure : Exponentielle de matrice 23-05-12 à 22:52

Que veux-tu, on ne refait pas les soixante-huitards attardés !
Supposons que l'on connaisse la décomposition de Dunford A=D+N, et une diagonalisation de D : \Delta=P^{-1}\,D\,P, avec \Delta diagonale. Ca nous permet de calculer \exp(A) en utilisant les propriétés suivantes :
1° \exp(A)=\exp(D)\,\exp(N) car D et N commutent.
2° \exp(N) est facile à calculer : comme ci-dessus, la série s'arrête vite à cause de la nilpotence de N.
3° \exp(D)= P\,\exp(\Delta)\, P^{-1} (on a D^n=P\,\Delta^n\,P^{-1} et on met ça dans la série).
4° \exp(\Delta) est immédiate à calculer (vois-tu pourquoi ? Sinon, remarque que les \Delta^n sont faciles à calculer, et utilise la série).
Il suffit de mettre ça bout à bout. Tu as tout en main, à toi de jouer. Et si tu veux \exp(tA), c'est la même histoire..

Posté par
Scaramouchere : Exponentielle de matrice 24-05-12 à 04:52

Je te remercie.

Je comprend bien tout ce que tu a mis mais je ne vois toujours pas comment finaliser le calcul ensuite ?

Si j'ai bien ca :exp(TD)*Exp(TN) = I*Exp(T)*(I+TN) je ne vois pas comment je dois le calculer.

De plus on a ici un cas particulier dans la mesure ou D = I mais sinon que deviennent P et P^-1 par la suite ?

Posté par
GaBuZoMeure : Exponentielle de matrice 24-05-12 à 09:07

Franchement, j'ai du mal à concilier "Je comprend bien tout ce que tu a mis" et "je ne vois toujours pas comment finaliser le calcul" sans en conclure que tu ne sais pas additionner et multiplier les matrices, ce dont je te fais tout de même crédit . Logiquement, j'en conclus
- soit que tu es de mauvaise fois en disant que tu ne sais pas faire le calcul,
- soit qu'en fait tu n'as pas compris ce que j'ai mis.
Je penche pour la deuxième possibilité, d'autant plus que ta question "que deviennent P et P^{-1} par la suite" montre qu'en fait tu n'as pas compris (pas fait l'effort de réfléchir à ?) ce que j'ai écrit : \exp(D)= P\,\exp(\Delta)\, P^{-1}.

Je t'encourage donc à prendre au sérieux ce que j'ai écrit (pas forcément ce qui concerne les soixante-huitards) et à faire l'effort d'y réfléchir. Pour que tu puisses ancrer ta réflexion sur un exemple concret, je te propose
A=\begin{pmatrix} 4&2&-6\\ 0&1&0\\ 2&1&-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&0&3\\ 0&1&0\\ 1&0&2 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}2&0&-3\\0&1&0\\-1&0&2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0&2&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}\;.
La deuxième expression est la décomposition de Dunford, avec la partie diagonalisable effectivement diagonalisée. Allez, zou, calcul de \exp(tA).

Posté par
Scaramouchere : Exponentielle de matrice 24-05-12 à 22:37


Je te remercie.

J'ai donc

P*exp(tD)*P^-1

4exp(t-3 0 -6exp(t)
0     exp(t)  0
2exp(t)   0   -3exp(t)+2


et tN

0 2t 0
0 0 0
0 t 0

et j'ai donc donc exp(tD)*exp(tN) = (P*exp(tD)*P^-1)*(I+tN)  (car N de nilpotence 2)

Je fait le produit et j'obtiens.

0   2texp(t)-6t  0
0       0        0
0    texp(t)-2t

Ca me parait louche j'ai pourtant suivie la méthode.

Posté par
GaBuZoMeure : Exponentielle de matrice 24-05-12 à 22:48

Je dois malheureusement le reconnaître : tu ne sais pas faire un produit de matrices ! (Ou alors tu confonds I+tN avec tN).
(Utiliser la même lettre D pour D et \Delta ne rend pas la lecture très facile !)

Posté par
Scaramouchere : Exponentielle de matrice 24-05-12 à 22:55

Pour moi
Oui j'ai merdé

mais donc j'

(P*exp(tD)*P^-1)*(I+tN) = (P*exp(tD)*P^-1) + (P*exp(tD)*P^-1)*tN

?

Posté par
GaBuZoMeure : Exponentielle de matrice 24-05-12 à 22:56

Faisons bosser Maple :

Exponentielle de matrice


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