Inscription / Connexion Nouveau Sujet
exponentielle de matrice et interpolation de Lagrange
Bonsoir,
J'ai un problème dans un exercice
1) Soit S et J deux matrices tel que SJ=JS et S diagonalisable avec ses valeurs propres ai réels > 0. exp(T)=S. Soit t un réel.
Par interpolation de Lagrange il existe Q un polynôme réel tel que Q(ai)=ait et Q(1/ai)=1/ait.
C'est à partir de maintenant que je ne comprend plus:
Alors Q(S)=exp(tT) et Q(S-1)=exp(tT)-1
Et donc SJ=JS entraine exp(tT)J=Jexp(tT)-1.
2) En fait, j'ai le même problème dans mon cours:
A matrice complexe diagonalisable de valeur propre ai. Soit bi tel que exp(bi)=ai
Alors, par interpolation de Lagrange il existe un polynome complexe P tel que P(ai)=bi.
Jusque là je suis ok. Mais encore une fois je ne comprend pas pourquoi exp(P(A))=A.
Merci d'avance de vos réponses
exp(P(D))=D car si je connais le résultat et "moralement" c'est ce que je veux mais je ne vois pas pourquoi. On a exp(P(ai))=ai et je ne vois pas pourquoi ça implique exp(P(D))=D
Mais concrétement pour voir que exp(P(A))= U-1exp(P(D))U tu fais "à la main" comme pour montrer que l'exp du conjugué c'est le conjugué de l'exp ?
Regarde concrètement ce qui se passe pour une matrice diagonale D de coefficients diagonaux : P(D) est la matrice diagonale de coefficients
, et exp(D) la matrice diagonale de coefficients
.
Pour la conjugaison : facile de montrer que c'est un homomorphisme d'algèbre, et c'est bien continu comme endomorphisme d'espace fini. La conjugaison préserve donc l'exponentielle.
Ah oui! En fait, ce qui me manquait, c'était de voir que P(D) est la matrice diagonale de coeff P(ai).
J'avais "oublié" que les puissances de matrice diagonale se calcule.... très facilement. Honte à moi.
En tout cas merci d'avoir la patiente de me répondre.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac