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Exponentielle de matrice - exp(A+B)=exp(A)exp(B) (ECS 1)

Posté par
LaeM 26-01-14 à 18:54

Bonjour !
Petit problème avec une démonstration. J'ai deux matrices qui commutent A et B nilpotentes d'indices respespectifs q et r.
exp(A)=somme pour k=0 à k=q-1 de (1/k!)A^k (définition)
Je cherche à montrer exp(A+B)=exp(A)exp(B). En utilisant le binôme de Newton, je suis arrivée à :
exp(A+B)=somme de k=0 à k=q+r-1 de somme de i=O à i=k de [(1/i!)(1/(k-i)!)B^i*C^(k-i)]
Une fois là, je suis bloquée.
Pourriez-vous m'aider ?
Merci beaucoup d'avance

Posté par
verdurinre : Exponentielle de matrice - exp(A+B)=exp(A)exp(B) (ECS 1) 26-01-14 à 19:13

Bonsoir,
une technique utile : prendre un exemple simple.
Ici je vais faire le calcul avec q=3 et r=2

\exp(A+B)=1+(A+B)+\frac12(A+B)^2+\frac16(A+B)^3 (vérifie que tous les termes suivants de la série sont nuls).

\exp(A+B)=1+A+B+\frac12 A^2+ \frac12 2AB +\frac12 B^2 +\frac16A^3+\frac16 3A^2B +\frac16 3AB^2+\frac16 B^3=1+A+B+\frac12 A^2+ AB +\frac12 A^2B=(1+A+\frac12A^2)(1+B)

Posté par
LaeMre : Exponentielle de matrice - exp(A+B)=exp(A)exp(B) (ECS 1) 26-01-14 à 19:28

Merci beaucoup déjà pour votre réponse !
Une simple question : ne serait-ce pas plutôt la matrice I et non le chiffre 1 dans vos calculs ? ça ne change pas garnd chose, mais c'est quelque chose sur lequel je me trompe souvent, alors je voudrais être sûre d'avoir bien compris...
Ensuite, j'ai bien compris l'exemple. Mais je dois avouer que j'ai  du mal à regrouper les termes dans le cas général... je ne comprends pas comment faire
Merci encore d' avoir répondu !

Posté par
verdurinre : Exponentielle de matrice - exp(A+B)=exp(A)exp(B) (ECS 1) 26-01-14 à 19:44

Bien sûr c'est la matrice unité et pas le nombre 1. Je m'excuse pour la confusion, liée à de mauvaises habitudes.

Pour ta somme l'indice maximum à considérer est le maximum de q et r.

Posté par
LaeMre : Exponentielle de matrice - exp(A+B)=exp(A)exp(B) (ECS 1) 26-01-14 à 19:56

D'accord.
Mais je suis toujours bloquée... Je ne vois vraiment pas comment relier les deux expressions. Et toutes les démonstrations que j'ai trouvées parlent d'endomorphismes ou autres concepts qui me sont totalement inconnus... :/

Posté par
LaeMre : Exponentielle de matrice - exp(A+B)=exp(A)exp(B) (ECS 1) 26-01-14 à 20:35

J'ai trouvé une démonstration qui utilise des concepts que je maîtrise : http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/2003/dl/dl_08_matrices.pdf
C'est la question 5b. Mais je ne comprends pas l'inversion de somme qui est faite...

Posté par
LaeMre : Exponentielle de matrice - exp(A+B)=exp(A)exp(B) (ECS 1) 26-01-14 à 20:39

Ni la toute dernière somme d'ailleurs :/

Posté par
verdurinre : Exponentielle de matrice - exp(A+B)=exp(A)exp(B) (ECS 1) 26-01-14 à 20:41

Ce lien ne parle pas de ton problème.

Posté par
verdurinre : Exponentielle de matrice - exp(A+B)=exp(A)exp(B) (ECS 1) 26-01-14 à 21:36

En fait, j'ai l'impression qu'il est plus simple de voir que, si A et B commutent alors, de façon formelle,
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}(A+B)^n=\sum_{i=0}\frac{1}{i!}A^i\times\sum_{j=0}\frac{1}{j!}B^j

Le fait que les matrices A et B soit nilpotentes garanti la convergence, et donc l'écriture formelle a un sens.

Posté par
LaeMre : Exponentielle de matrice - exp(A+B)=exp(A)exp(B) (ECS 1) 26-01-14 à 23:08

Ah bon ?
Merci en tout cas...

Posté par
lafol Moderateurre : Exponentielle de matrice - exp(A+B)=exp(A)exp(B) (ECS 1) 27-01-14 à 09:53

Bonjour

je crois qu'on peut y arriver sans ça, avec juste une inversion de sommes et un changement d'indices :

e^{A+B} = \sum_{k=0}^{q+r-1}\dfrac{(A+B)^k}{k!} \\ =\sum_{k=0}^{q+r-1}\sum_{i=0}^k\dfrac{{k\choose i}}{k!}A^iB^{k-i} \\ =\sum_{k=0}^{q+r-1}\sum_{i=0}^k\dfrac{1}{i!}A^i\dfrac{1}{(k-i)!}B^{k-i}

c'est ici qu'on intervertit les sommes : fais un petit tableau, i en colonnes k en lignes et mets une croix si le couple (k,i) est présent dans ta double somme : tu vas remplir un triangle dans le tableau, et en lisant maintenant ton tableau dans l'autre sens, tu pourras voir que si on commence par i, i va de 0 à q+r-1 et k de i à q+r-1

on a donc :
e^{A+B} =\sum_{i=0}^{q+r-1}\sum_{k=i}^{q+r-1}\dfrac{1}{i!}A^i\dfrac{1}{(k-i)!}B^{k-i} \\ =\sum_{i=0}^{q+r-1}\dfrac{1}{i!}A^i\sum_{k=i}^{q+r-1}\dfrac{1}{(k-i)!}B^{k-i} \\ =\sum_{i=0}^{q-1}\dfrac{1}{i!}A^i\sum_{k=i}^{q+r-1}\dfrac{1}{(k-i)!}B^{k-i}
(j'ai sorti de la somme intérieure ce qui ne dépendait pas de k, et limité la somme extérieure en tenant compte du fait que dès que i atteindra q, A^i sera nulle)

maintenant on va changer d'indice dans la somme intérieure, en posant j = k - i :

e^{A+B} = \sum_{i=0}^{q-1}\dfrac{1}{i!}A^i\sum_{j=0}^{q+r-1-i}\dfrac{1}{j!}B^{j}

or puisque i\leq q-1, q+r-1-i\geq \not{q}+r-\not{1}-(\not{q}-\not{1}) , et comme dès qu'on atteint r, B^j est nulle, on peut limiter la somme intérieure à r-1 :

e^{A+B} = \sum_{i=0}^{q-1}\dfrac{1}{i!}A^i\sum_{j=0}^{r-1}\dfrac{1}{j!}B^{j}=e^Ae^B

Posté par
LaeMre : Exponentielle de matrice - exp(A+B)=exp(A)exp(B) (ECS 1) 27-01-14 à 20:51

Merci beaucoup lafol !
Surtout pour l'explication avec le tableau ça me parait bien plus clair maintenant.
Merci d'avoir répondu

Posté par
lafol Moderateurre : Exponentielle de matrice - exp(A+B)=exp(A)exp(B) (ECS 1) 27-01-14 à 21:42

avec plaisir


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