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exponentielle de matrices
Bonjour,
Je ne suis pas sûr de comprendre un certain théorème.
Soit une suite de scalaires du corps
.
Soit .
Le théorème dit ceci :
Sous réserve de convergence de la série, est un polynôme en
.
Je comprends la preuve (qui dit que l'ensemble des polynômes en A est un sous-espace vectoriel fermé de donc les suites de polynômes convergent dedans).
Mais alors, si pour tout n, on définit la suite ainsi :
, on se retrouve avec la série
.
Ça veut dire que l'exponentielle d'une matrice est en fait un polynôme de cette matrice et je pourrais l'écrire comme un polynôme (un nombre fini de termes) ?
Est-ce que je comprends bien la chose ? Ça se saurait, si l'exponentielle était un polynôme non ?
salut
Est-ce que je comprends bien la chose ? Ça se saurait, si l'exponentielle était un polynôme non ?
pour toute matrice A il existe un polynome dépendant de A P tel que
mais si tu prends une autre matrice B alors ce ne sera pas le même polynome
Merci pour vos réponses.
Oui oui, j'avais compris, mais je ne l'ai pas rajouté c'est vrai, que le polynôme était bien différent à chaque fois. , si on veut. Mais rien que ça, ça m'écarquille les yeux !
Mais alors avec une matrice 1 × 1, c'est à dire un scalaire, ça fonctionne aussi.
Genre, .
Bon, je réfléchis en même temps que j'écris : en prenant et les autres coeffs nuls, ça marche. Ça casse un peu la magie.
Et bien écoutez, merci, j'ai appris quelque chose ^^
Voilà quelques autres infos si cela te fait saliver.
Si tu continues un peu les maths et la physique, tu étudieras la relativité (restreinte, puis générale) et donc on va forcément à un moment ou à un autre te parler de variété riemannienne, de géodésique, de connexion affine, ...
Sans vouloir te spoiler (ni t'en dégoûter!), ce sont des notions géométriques moyennement difficiles à assimiler qui donnent toute sa beauté à la relativité et qui permettent de se représenter l'espace temps comme un tissu déformé par les planètes qui pèsent dessus. Ca s'appelle la courbure.
Pour te la faire courte, l'espace temps n'est pas R^4 mais seulement localement très similaire à R^4. Quand on zoom beaucoup sur un point, on voit R^4.
Si je prends un vecteur tangent à un point P de mon espace temps v, il existe une unique géodésique (trajectoire la plus courte) qui part de mon point P avec une vitesse initiale v. Maintenant, j'attends pendant une unité de temps (je passe sous silence certains détails sur le temps propre ici) et je regarde où je suis sur ma géodésique en suivant ma vitesse initiale v. Je note ce point... .
Notation non due au hasard 
C'est une définition locale de l'exponentielle, qui ne donne pas forcément lieu à une définition générale (sur tout l'espace temps), ça dépend de la variété sur laquelle on est. L'application ainsi formée s'appelle l'application exponentielle.
Toutes les exponentielles que tu connais (réelle, complexe, matricielle), sont en fait des cas particuliers d'applications exponentielles. L'exponentielle réelle ne dépend pas du point P, parce que R est plat (pas de courbure), mais celle des matrices, si 
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