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exponentielle, ensemble de points

Posté par dol (invité) 08-02-05 à 14:56

Aidez moi svp pour cet exercie.

Le but de cet exercice est de construire l'ensemble É des points M(x ;y) tels que (ln x)2+(ln y)2=1 avec x>0 et y>0.

1. Démontrez que E est inclus dans l'ensemble des points M(x ;y) tels que
\frac{1}{e}xe et \frac{1}{e}ye

2. Démontrez que E admet la droite y=x comme axe de symétrie.

3. Démontrez que E est la réunion des courbes représentatives de deux fonctions, l'une d'elles étant :
f1: x e\sqrt{1-(ln^2 x)}

Trouvez l'autre fonction f2.

4. Tracez E

Merci d'avance.

Posté par papou_28 (invité)réponse au problème 08-02-05 à 22:40

1°> Soit M(x,y)
1- Supposons que x > e alors ln x > ln e (ln est une fonction croissante sur ]0 +infini[) ainsi ln²x > ln² e
(car x --> x² est une fonction croissante pour x>0).
Par conséquent ln²x > 1 d'où ln²x + ln² y > 1 (car ln²y>0)
Donc M n'appartient pas à E
2- Supponsons maintenant que x<1/e ln x < ln (1/e)
ln x < -ln e (ln 1/a = -ln a) donc ln x < -1
ainsi ln²x > (-1)² ( x --> x² est une fonction décroissante pour x<0) ; ln²x > 1 d'où ln² x + ln² y >1
Donc M n'appartient pas à E.
3- par le même raisonnement pour y, on obtient
Si y> e ou y< 1/E ==> M n'appartient pas à E.

Conclusion
Soit M(x,y)
x < 1/e ou x>e ou y<1/e ou y > e ===> M n'apprtient pas à E
Par contre à opposé :
M appartient à E ===> 1/e =< x =< e et 1/e =<y=< e
d'où E est inclu dans l'ensemble défini par le 1°>
2°>Soit M(x,y) appartenant à E ; Soit M' le symétrique de M par rapport à la droite d'équation y=x.
Les coordonnées de M' sont (y,x).
Si M appartient à E alors ln²x + ln²y =1 d'où ln²y + ln²x = 1. donc M' appartient à E.
d'où la droite y = x est un axe de symétrie de l'ensemble des points de E.  
3°> raisonnement par équivalence :
M(x,y) apprtient à E <==> ln² x  + ln² y = 1
  <==> ln²y = 1- ln² x
  <==> ln y = racine(1-ln²x) ou ln y = - racine(1-ln²x)  
  <==> y = exp(racine(1-ln²x)ou y= exp(-racine(1-ln²x))
(la fonction exponentielle est une fonction bijective sur les réels)
(Posons f1(x)=exp(racine(1-ln²x) et f2=exp(-racine(1-ln²x)))
   <==> e est la réunion des deux courbes f1 et f2
4°> pour tracer E , on utilise la calculatrice
On étudie les varations de f1 sur 1/e=<x=<e. On pourra calculer la dérivée de f1 (c'est long mais guère compliqué)

Posté par dol (invité)re : exponentielle, ensemble de points 09-02-05 à 09:36

merci pour ton aide, je vais voir si je comprends tout!!

Posté par dol (invité)re : exponentielle, ensemble de points 09-02-05 à 11:10

J'ai trouvé:

Pour f1:

\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&\frac{1}{e}&&1&&e \\{variation}&&\nearrow&&\searrow&&\\\end{tabular}

Avec:
f1(\frac{1}{e})=1
f1(1)=e
f1(e)=1

Et pour f2

\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&\frac{1}{e}&&1&&e \\{variation}&&\searrow&&\nearrow&&\\\end{tabular}

Avec:
f2(\frac{1}{e})=1
f2(1)=\frac{1}{e}
f2(e)=1

Peux-tu m'aider pour cette dernière question:
Construisez l'ensemble F des points M(x;y) tels que:
(ln|x|)2+(ln|y|)2=1

Posté par dol (invité)re : exponentielle, ensemble de points 09-02-05 à 11:22

En fait, pour tracez E, tu fais f1, f2 et leur symétrique par rapport à la 1ère bissectrice?

Posté par dol (invité)re : exponentielle, ensemble de points 09-02-05 à 12:43

c'est bon, j'ai réussi à tracé E.

Mais l'ensemble F des points M(x;y) tels que: (ln|x|)2+(ln|y|)2=1, je n'y arrive pas.
Est-ce qu'il faut tracer les symétriques de f1 et f2 par rapport à Ox, Oy et 0?

Posté par dol (invité)re : exponentielle, ensemble de points 09-02-05 à 20:41

aidez-moi

Posté par dol (invité)re : exponentielle, ensemble de points 10-02-05 à 14:05

svp

Posté par dol (invité)re : exponentielle, ensemble de points 11-02-05 à 19:48

svp

Posté par minotaure (invité)re : exponentielle, ensemble de points 12-02-05 à 02:54

pour construire F a partir de E : il suffit de considerer 4 cas :

tu as l'ensemble E.

premier cas : x>0 et y>0 alors dans cette partie du plan E et F coincident.

deuxieme cas x>0 et y<0 alors les points de F se trouvant dans cette partie du plan sont les symetriques des points de E dans la partie du plan x>0 et y>0 par rapport a l'axe (O,i)

troisieme cas x<0 et y>0 meme chose que deuxieme cas mais cette fois ci par rapport a l'axe (O,j).

dernier cas x<0 et y<0 c'est "deuxieme cas + troisieme cas" en resume c'est la meme chose sauf que la c'est une symetrie centrale de centre O.

Posté par minotaure (invité)re : exponentielle, ensemble de points 12-02-05 à 02:56

p'tite remarque :
on dirait que F a la forme d'un trefle a 4 feuilles...



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