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Exponentielle Intégration.

Posté par
nat2108 23-05-21 à 14:19

Bonjour, je bloque sur cet exercice qui est : Irrationnalité du nombre e

Pour tout entier naturel, n1, on note :
I_{n} = \int_{0}^{1}{x^{n}e^{1-x}}dx.

Q1) Calculer I1

Est-ce qu'il faut calculer une primitive de l'intégrale (de x^{n}e^{1-x}}) ?

Q2) n est un nombre entier naturel tel que n 1.
a) Démontrer que pour tout réel x de [0;1], xnx^{n}e^{1-x}}exn.

b) En déduire que : \frac{1}{n+1}\leq I_{n}\leq \frac{e}{n+1}

Q3) A l'aide de la méthode d'intégration par parties démontrer que pour tout entier naturel n1 : I_{n+1} = (n+1)I_{n}-1.

Merci d'avance pour l'aide !

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 14:21

Bonjour,

  1) Dans cette question, n=1

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 14:28

Donc on a : I1= \int_{0}^{1}{x^{1}e^{1-x}}dx? Mais là il faut calculer une primitive non ? Parce que sinon on ne peut pas avoir de résultat ?

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 14:28

Et pourquoi pas une intégration par parties ?

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 14:32

On pose u'=xn et v=e1-x ?

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 14:34

Tu y tiens aux n; ici n=1

Le principe est de faire baisser le degré du polynôme.
Plutôt poser u=x et v'=e^{1-x}

Mais de toute manière, qui ne tente rien n'a rien : il faut essayer...

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 14:44

Comment faire pour calculer une primitive de e1-x?

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 14:46

e^{1-x}=-[-e^{1-x}]

Dans le crochet, je vois quelque chose de la forme u'e^u

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 14:47

Ah donc c'est e1-x?

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 14:48

Pour vérifier, tu dérives (il manque quelque chose...)

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 14:54

J'ai trouvé pour I1 = 1

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 14:55

Probablement des erreurs; tu dois tomber sur I_1=\text{e}-2

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 15:07

Après vérification, j'ai ça :

I1\int_{0}^{1}{xe^{1-x}} = [u(x)v(x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{u'(x)v(x)}
<=>[-xe^{-1-x}]_{0}^{1} - [e^{1-x}]^{1}_{0}
<=> (-1e^{1-1})-(-0e^{1-0})-(e^{1-1})-(e^{1-0})
<=> -e^{-0}+0-e^{1-1}-e^{1-0}
<=> -1+0-1-e
<=> -e-2

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 15:15

Remarque que l'intégrande est positive sur [0,1]

Donc I_1\geq 0 et ne peut pas être négative comme tu le trouves.

Dès le départ, il y a quelque chose qui ne va pas :

    

Citation :
I1=\int_{0}^{1}{xe^{1-x}} = [u(x)v(x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{u'(x)v(x)}
=[-xe^{-1-x}]_{0}^{1} - [{\red -}e^{1-x}]^{1}_{0}

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 15:20

Je me suis trompé;

Ceci :

  

Citation :
I_1=[-xe^{-1-x}]_{0}^{1} - [e^{1-x}]^{1}_{0}


est correct.

  c'est ensuite que ça ne va pas.

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 15:20

Au résultat j'ai donc seulement : e

nat2108 @ 23-05-2021 à 15:07

Après vérification, j'ai ça :

I1\int_{0}^{1}{xe^{1-x}} = [u(x)v(x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{u'(x)v(x)}
<=>[-xe^{-1-x}]_{0}^{1} - [-e^{1-x}]^{1}_{0}
<=> (-1e^{1-1})-(-0e^{1-0})-(-e^{1-1})-(-e^{1-0})
<=> -e^{-0}+0-(-e^{1-1})-(-e^{1-0})
<=> -1+0+1+e
<=> e

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 15:23

J'ai donc bien e-2, j'ai oublié les parenthèses pour la troisième ligne qui transforme le - en + entre 1 et 0

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 15:23

J'ai corrigé ce que j'avais écrit au dessus.

  

Citation :
Ceci :

  
Citation :
I_1=[-xe^{-1-x}]_{0}^{1} - [e^{1-x}]^{1}_{0}


est correct.

  c'est ensuite que ça ne va pas.


Je te répète que tu dois tomber sur I_1=\text{e}-2

A toi de voir où tu t'es trompé.

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 15:24

Ah! Oui ce devait être un oubli de parenthèses

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 15:29

Pour la question 2a je bloque aussi

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 15:33

On travaille sur l'intervalle d'intégration [0,1]

donc 0\leq x\leq 1

    ?\leq 1-x\leq ?

  ?\leq e^{1-x}\leq ? (en utilisant la croissance de la fonction exponentielle).

et finalement ?\leq x^n\,e^{1-x}\leq ?  (en multipliant par x_n\geq 0)

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 15:43

Ah d'accord on fait comme une fonction sinus qui st bornée.

On a :0 \leq x\leq 1
<=> 1-0 \leq 1-x\leq 1-1
<=> 1\geq 1-x\geq 0
<=> e^1\geq e^{1-x}\geq e^{0}
<=> ex^{n}\geq x^{n}e^{1-x}\geq 1*x^{n}
<=> x^{n}\leq x^{n}e^{1-x}\leq ex^{n}

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 15:48

La seconde ligne est bizarre : finalement tu as écrit que 1\leq 0

Le reste, ça va.
N'abuse pas des équivalences. Ici les implications suffisent.

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 15:52

D'accord merci !

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 16:00

Pour la question b il faut mettre sur 1/n+1 ou il y a des simplifications à faire ?

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 16:11

Je ne comprends pas bien ta question mais en tout état de cause, un théorème du cours stipule que :

  si f et g sont des fonctions continues sur [a,b]\,\,a\leq b telles que :

   sur [a,b],  f(x)\leq g(x), alors :

    \begin{align}\int_a^bf(x)\,\text{d}x\leq \int_a^bg(x)\,\text{d}x\end{align}

Ici, tu as sur [0,1]:

      x^n\leq x^n\,e^{1-x}\leq \text{e}\,x^n

Il suffit d'appliquer en intégrant l'inégalité sur [0,1]

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 16:23

lake @ 23-05-2021 à 16:11

Je ne comprends pas bien ta question mais en tout état de cause, un théorème du cours stipule que :

  si f et g sont des fonctions continues sur [a,b]\,\,a\leq b telles que :

   sur [a,b],  f(x)\leq g(x), alors :

    \begin{align}\int_a^bf(x)\,\text{d}x\leq \int_a^bg(x)\,\text{d}x\end{align}

Ici, tu as sur [0,1]:

      x^n\leq x^n\,e^{1-x}\leq \text{e}\,x^n

Il suffit d'appliquer en intégrant l'inégalité sur [0,1]


Intégrant, c'est à dire, en mettant ou en primitivant ?

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 16:26

f(x) = x et g(x) = e1-x ? J'ai pas compris comment remplacer f et g

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 16:28

Tu appliques strictement le théorème:

Sur [0,1], x^n\leq x^n\,\text{e}^{1-x}\leq \text{e}\,x^n

Donc \begin{aligned}\int_0^1x^n\,\text{d}x\leq\int_0^1x^n\,\text{e}^{1-x}\,\text{d}x\leq \int_0^1e\,x^n\,\text{d}x\end{aligned}

Au milieu, tu retrouves I_n

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 18:31

D'accord, j'ai donc cette égalité, mais il y a aux bornes de In,  1/n+1 et e/n+1 et je n'ai pas compris comment on passe de cette égalité (avec les intégrales) à \frac{1}{n+1}\leq I_{n}\leq \frac{e}{n+1} ?

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 18:40

Je crois t'en avoir déjà beaucoup dit;  les intégrales de chaque côté, il faut les calculer.
Ce n'est pas difficile ...

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 18:42

lake @ 23-05-2021 à 18:40

Je crois t'en avoir déjà beaucoup dit;  les intégrales de chaque côté, il faut les calculer.
Ce n'est pas difficile ...

Ah mais il faut les calculer ?! d'accord merci

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 19:01

[\frac{1}{n+1}x^{n+1}]_{0}^{1}\leq [-xe^{1-x}-e^{1-x}]^{1}_{0}\leq [\frac{e^{x^{n}}}{n}]^{1}_{0}
Soit : \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{1}x^{0+1}\leq -xe^{1-x}-e^{1-x}\leq \frac{ex^{1}}{1}-\frac{ex^{1}}{0}
Soit : \frac{x^{2}-2x}{2}\leq I_{n}\leq ex

On est loin du  \frac{1}{n+1}\leq I_{n}\leq \frac{e}{n+1}

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 19:10

Citation :
On est loin du ...


Oui tu es loin du ...
Au milieu tu as I_n
De chaque côté, reprends calmement. Je vois mal comment ces intégrales pourraient dépendre de la variable d'intégration (ici x)

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 23-05-21 à 19:13

Les intégrales avec les bornes 0 et 1 sont bien définies avec n ?

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 11:00

?

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 11:37

Bonjour,

Il s'agit de calculer \begin{aligned}\int_0^1x^n\,\text{d}x\end{aligned}

Tu sais faire.

Et \begin{aligned}\int_0^1\text{e}\,x^n\,\text{d}x=\text{e}\,\int_0^1x^n\,\text{d}x\end{aligned}

Il suffit de multiplier la précédente par \text{e} qui est une constante.

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 11:40

Pour la première, tu peux commencer par chercher une primitive de la fonction x\mapsto x^n

Elle figure certainement dans un tableau de primitives dont tu as eu connaissance.

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 12:13

Une primitive de xn est \frac{1}{n+1}x^{n+1}

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 12:17

Oui, à prendre de 0 à 1 et le calcul est fini.

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 12:18

Donc on a \frac{1}{2}x^{2}-x ?

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 12:22

La variable d'intégration, c'est x pas n !

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 12:28

D'accord, donc on a \frac{1}{n+1}1^{n+1}

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 12:34

Oui m'enfin 1^{n+1}=1 bref le résultat est \dfrac{1}{n+1}

Et avec la remarque de 11h37, l'autre intégrale (à droite) vaut \dfrac{\text{e}}{n+1}

Tu as donc vaillamment prouvé que pour toutn\geq 1 :

   \dfrac{1}{n+1}\leq I_n\leq \dfrac{\text{e}}{n+1}

Bien que ce ne soit pas explicitement demandé, tu peux en déduire (avec les gendarmes) que :

    \lim\limits_{n\to +\infty}I_n=0

Un résultat qui aura certainement son utilité pour la suite ...

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 12:37

D'accord mais donc la primitive de droite vaut : e(\frac{1}{n+1}1^{n+1}-\frac{1}{n+1}0^{n+1}) ?

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 12:40

Si tu veux mais il est inutile de "recalculer" (il suffit de multiplier celle de gauche par \text{e})

et remarque que :

    

Citation :
e(\frac{1}{n+1}1^{n+1}-\frac{1}{n+1}0^{n+1}) ?


   =\dfrac{\text{e}}{n+1}

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 12:42

Oui merci pour ces réponses ! Je fais exprès d'écrire chaque étape pour bien comprendre ce qui se simplifie

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 12:45

Pour 3), tu pars de \begin{aligned}I_{n+1}=\int_0^1x^{n+1}e^{1-x}\,\text{d}x\end{aligned}

et tu procèdes exactement comme pour le calcul de I_1 en posant u=x^{n+1} (au lieu de u=x)

Posté par
nat2108re : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 12:56

Donc u'(x) = (n+1)xn ?

Posté par
lakere : Exponentielle Intégration. 24-05-21 à 13:02

Tu fais le calcul d'intégration par parties jusqu'au bout. Je ne vais pas te tenir la main pas à pas.

Tu dois tomber sans problème particulier sur I_{n+1}=(n+1)I_n-1

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