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Expression d'une probabilité/suite récurrente linéaire d'ordre 2

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Nameless1818 31-08-22 à 19:26

Bonjour, et merci d'avoir pris le temps de lire ce message.
L'énoncé de mon exercice est le suivant :

"Une particule se trouve au point d'abscisse a (a entier) sur un segment gradué de 0 à N, avec a compris entre 0 et N. À chaque instant, elle fait un bond de +1 avec la probabilité de p et un bon de -1 avec la probabilité q=1-p. p est comprise entre 0 et 1 et est inégale à 1/2.
Le processus se termine quand la particule atteint l'une des extrémités du segment.
On note u(a) la probabilité pour que la particule partant de a, le processus s'arrête en 0."

Là, je viens de démontrer que
u(a)=p*u(a+1)+q*u(a-1)
pour a compris entre 0 et N non inclus, et on me demande d'en déduire l'expression exacte de u(a). Le truc c'est que je ne connais pas les deux premiers termes de la suite, et le fait que p et q ne soient pas connus m'empêchent de trouver un résultat précis en passer par l'équation caractéristique... Avez vous des idées sur la façon dont je dois m'y prendre ?

Posté par
Ulmierere : Expression d'une probabilité/suite récurrente linéaire d'or 31-08-22 à 19:50

En écrivant q = 1-p, calcule u(a) - u(a-1).
En déduire la valeur de \sum_{k=1}^a u(k)-u(k-1).
Et comme par ailleurs cette somme est téléscopique...

Posté par
Nameless1818re : Expression d'une probabilité/suite récurrente linéaire d'or 01-09-22 à 01:18

Merci beaucoup pour votre réponse ! Pour le moment je ne vois pas trop en quoi le premier calcul m'aide, je ne trouve que
u(a)-u(a-1)=p*(u(a+1)-u(a-1))... Je ne peux pas développer plus, si ? Vu que après, en en déduisant ce que me donne les sommes, je ne parviens pas à trouver une expression sans u(a+1) et u(a-1) et n'ai donc pas mon expression exacte après télescopage...

Posté par
Ulmierere : Expression d'une probabilité/suite récurrente linéaire d'or 01-09-22 à 12:11

u(a) - u(a-1) = p(u(a+1)-u(a-1)) = p(u(a+1)-u(a)) + p(u(a)-u(a-1))

donc  u(a)-u(a-1) = \dfrac{p}{1-p} (u(a+1)-u(a)), pour n'importe quel a entre 1 et N-1.

Soit v(a) := u(a)-u(a-1), bien définie entre 1 et N.
On a vu que v(a+1) = q/p v(a) pour tout a entre 1 et N-1. C'est un suite géométrique et on a v(a) = v(1) (q/p)^{a-1} pour tout a entre 1 et N-1.

On peut ensuite sommer les v(a) et par téléescopage : \sum_{k=1}^a v(k) = \sum_{k=1}^a u(k)-u(k-1) = u(a) - u(0)

Mais aussi, \sum_{k=1}^a v(k) = (u(1)-u(0)) \sum_{k=0}^{a-1} (q/p)^k = (u(1)-u(0)) \times \dfrac{1-(q/p)^a}{1-q/p}.

Cette somme a du sens si q\neq p, ce qui est supposé par l'énoncé. Si q = p, v ne serait plus une somme géométrique mais toujours facile à calculer.

En tout cas, u(a) = u(0) + (u(1)-u(0))\times \dfrac{1-(q/p)^a}{1-q/p} pour tout a entre 1 et N-1. Il se trouve que cette formule est vraie aussi pour a = 0.

Ta relation de récurrence donne aussi

\\ \begin{array}{lcl} \\ pu(N) &=& u(N-1)-qu(N-2)\\ \\ &=& u(0)(1-q) + \dfrac{u(1)-u(0)}{1-q/p}\left(1-(q/p)^{N-1} - q(1-(q/p)^{N-2}\right)\\ \\ &=& pu(0) + \dfrac{u(1)-u(0)}{1-q/p}\left(1-q - (q/p)^{N-1}  + q^{N-1}/p^{N-2}\right)\\ \\ &=& pu(0)+ p\dfrac{u(1)-u(0)}{1-q/p}\left(1- q/p(q/p)^{N-1}\right) \\ &=& pu(0) + p(u(1)-u(0))\dfrac{1-(q/p)^N}{1-q/p} \\ \end{array} \\

Donc la formule est encore vraie pour a = N.


Je trouve ton énoncé pas clair. Tu cherches les temps d'atteinte ou les temps de retour en 0 ? Parce que si 0 est absorbant, alors u(0) = 1 trivialement...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Expression d'une probabilité/suite récurrente linéaire d'or 01-09-22 à 17:01

Bonjour,
Moi aussi, je trouve l'énoncé pas clair.
En fait, on ne sait pas quelles sont les questions posées.
Le début de l'énoncé a été recopié. Donc, si l'énoncé entier est long, il peut être communiqué sous forme d'image ou de fichier PDF

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Expression d'une probabilité/suite récurrente linéaire d'or 01-09-22 à 21:31

J'ai l'impression qu'il est tout aussi trivial que u(N) = 0.
En remplaçant a par N dans la formule u(a) = 1 + (u(1)-1)\times \dfrac{1-(q/p)^a}{1-q/p}, on peut trouver l'expression de u(1) en fonction de q/p et N.

En remplaçant u(1) par cette expression dans
u(a) = 1 + (u(1)-1)\times \dfrac{1-(q/p)^a}{1-q/p}
on obtient l'expression de u(a) en fonction de p, q, N et a.

Posté par
Ulmierere : Expression d'une probabilité/suite récurrente linéaire d'or 02-09-22 à 00:05

Oui mais ça c'est vrai pour n'importe quel processus en fait. Si un état est absorbant et qu'on fait partir notre processus de cet état absorbant, il n'en bougera jamais.

Ici 0 et N sont deux états absorbants donc il est évident que si tu pars de N tu ne le quittes jamais donc tu n'arriveras jamais en 0.

Par contre, si l'auteur du sujet nous a mal décrit le sujet, il est possible que la chaîne de Markov ait un état cimetière supplémentaire, accessible par 0 et par N, et sans qu'aucun des deux soit absorbant.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Expression d'une probabilité/suite récurrente linéaire d'or 02-09-22 à 08:41

Dans le premier message de Nameless1818, le début de l'énoncé figure entre des guillemets. Ce qui laisse penser qu'il est recopié sans modification.
Ce que j'aurais aimé lire, c'est la suite

Citation :
Tu cherches les temps d'atteinte ou les temps de retour en 0
On ne cherche pas des temps, mais des probabilités.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Expression d'une probabilité/suite récurrente linéaire d'or 02-09-22 à 09:54

Je donne l'expression que je trouve, car elle est très simple :

u(a) = 1 - \dfrac{1-r^{a}}{1-r^{N}} = \dfrac{r^{a}-r^{N}}{1-r^{N}} \; où \; r = \dfrac{p}{q}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Expression d'une probabilité/suite récurrente linéaire d'or 02-09-22 à 10:07

Une coquille : r = \dfrac{q}{p}
Pour N = 2, on trouve bien u(1) = q.


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