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Expression fonction >> primitives

Posté par
matix 26-02-06 à 15:36

Bonjour,

On me donne la fonction suivante:
f : x \longrightarrow \frac{2x-1}{x(x^2+x+1)}.

Je dois écrire cette fonction sous la forme f(x) = \frac{a}{x} + \frac{\alpha \, x + \beta}{x<sup>2</sup>+x+1} avec a, \alpha, \beta \in \mathbb{R}, puis en déduire toutes les primitives de f sur des intervalles convenables.

Je n'y parviens pas...
Pouvez-vous me montrer?

Merci d'avance.

édit Océane : pas de balises dans le LaTeX

Posté par
matixre : Expression fonction >> primitives 26-02-06 à 15:37

Euh ... je vois qu'il y a eu un problème avec LateX... mais ça reste quand même compréhensible je pense.. si non, dites-le moi!

Posté par
Youpire : Expression fonction >> primitives 26-02-06 à 15:38

Juste un petit conseil : fais un aperçu de ton message avant de poster surtout si tu utilises le language Latex

Posté par
Youpire : Expression fonction >> primitives 26-02-06 à 15:47


3$ f(x)=\frac{a}{x}+\frac{\alpha x + \beta}{x^2+x+1}=\frac{a(x^2+x+1)+(\alpha x + \beta)x}{x(x^2+x+1)}=\frac{(a+\alpha )x^2+(a+\beta )x+a}{x(x^2+x+1)}

on obtient donc:
3$ a+\alpha=0
3$ a+\beta=2
3$ a=1

donc 3$ \alpha=-1 \;et \; \beta=1

Posté par
Youpire : Expression fonction >> primitives 26-02-06 à 15:51

petite erreur (j'ai mal lu l'énoncé):  a=-1 donc \alpha=1 et \beta=3

Posté par
matixre : Expression fonction >> primitives 26-02-06 à 20:38

Merci beaucoup de cette réponse... mais pourquoi cette erreur de 1 avec -1?
De plus, à partir de là, comment peut-on déduire les primitives de f?

Posté par
Nightmarere : Expression fonction >> primitives 26-02-06 à 20:55

Bonsoir

\rm\frac{x+3}{x^{2}+x+1}=\frac{x}{x^{2}+x+1}+\frac{3}{x^{2}+x+1}
On a :
3$\rm \Bigint \frac{x}{x^{2}+x+1}dx=\frac{1}{2}ln|x^{2}+x+1|
De plus :
3$\rm \frac{1}{x^{2}+x+1}=\frac{1}{\(x+\frac{1}{2}\)^{2}-\frac{1}{4}}=4\times \frac{4}{\(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\)^{2}-1}\longrightarrow^{\Bigint dx} 8Arctan\(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\)

Conclus


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